2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练【含解析】，共11页。
A. 13 B. 12 C. 22 D. 223
2. 已知椭圆的两个焦点为F1−5,0 ，F25,0 ，M 是椭圆上一点，若MF1⊥MF2 ，MF1⋅MF2=8 ，则该椭圆的方程是( )
A. x27+y22=1 B. x22+y27=1 C. x29+y24=1 D. x24+y29=1
3.在平面直角坐标系Oxy 中，已知△ABC 的顶点A−4,0 和C4,0 ，顶点B 在椭圆x225+y29=1 上，则sin A+sinCsinB= ( )
A. 54 B. 52 C. 5 D. 53
4.设椭圆E 的两焦点分别为F1 ，F2 ，以F1 为圆心，F1F2 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点.若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为( )
A. 2−1 B. 5−12 C. 22 D. 2+1
5. （多选）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F1 ，F2 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63 ，过焦点F1 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆C 的方程为y23+x2=1 B. 椭圆C 的方程为x23+y2=1
C. PQ=233 D. △PF2Q 的周长为43
6. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为 .
7. 已知F1 ，F2 分别为椭圆C:x24+y23=1 的左、右焦点，直线x−3y+1=0 与椭圆交于P ，Q 两点，则△PQF2 的周长为 .
8. 设P 是椭圆C:x2a2+y26=1a>6 上任意一点，F 为C 的右焦点，PF 的最小值为2 ，则椭圆C 的离心率为 .
9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为23 ，离心率为32 .
（1） 求椭圆C 的标准方程；
（2） 若点A0,1 ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值.
[B级 综合运用]
10.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，F1 ,F2 为C 的两个焦点，C 的短轴长为4，且C 上存在一点P ，使得PF1=6PF2 ，则C 的方程可能为( )
A. x24+y29=1 B. x210+y24=1 C. x24+y27=1 D. x24+y28=1
11.（多选）设椭圆C:x24+y2=1 的焦点为F1 ，F2 ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 离心率e=32 B. PF2 的最大值为3
C. △PF1F2 面积的最大值为23 D. PF1+PF2 的最小值为2
12.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为F ，P ，Q 是椭圆上关于原点对称的两点，M ，N 分别是PF ，QF 的中点.若以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 .
13.设F1 是椭圆5x2+9y2=45 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A1,0 ，则PA+PF1 的最小值为 .
14. 已知F1 ，F2 是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.
（1） 若△POF2 为等边三角形，求C 的离心率；
（2） 如果存在点P ，使得PF1⊥PF2 ，且△F1PF2 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
[C级 素养提升]
15.过椭圆x2m+y2m−9=1m>9 右焦点F 的圆与圆O:x2+y2=4 外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 的最小值为 .
16.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C1:x26+y23=1 ，A1 ，A2 分别为椭圆C1 的左、右顶点.椭圆C2 以线段A1A2 为短轴且与椭圆C1 为“相似椭圆”.
（1） 求椭圆C2 的方程；
（2） 设P 为椭圆C2 上异于A1 ，A2 的任意一点，过P 作PQ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C1 于点H.求证：A1H⊥PA2 .
2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知椭圆C:x2a2+y23=1 的一个焦点为点1,0 ，则椭圆C 的离心率为( B )
A. 13 B. 12 C. 22 D. 223
[解析]选B.由椭圆C:x2a2+y23=1 的一个焦点的坐标为1,0 ，得a2−3=1 ，解得a=2 （负值舍去）.
所以椭圆C 的离心率为e=ca=12 .故选B.
2. 已知椭圆的两个焦点为F1−5,0 ，F25,0 ，M 是椭圆上一点，若MF1⊥MF2 ，MF1⋅MF2=8 ，则该椭圆的方程是( C )
A. x27+y22=1 B. x22+y27=1 C. x29+y24=1 D. x24+y29=1
[解析]选C.设MF1=m ,MF2=n ,因为MF1⊥MF2 ,MF1⋅MF2=8 ,F1F2=25 ，所以m2+n2=20 ,mn=8 ,所以m+n2=36 ,所以m+n=2a=6 ,所以a=3 .
因为c=5 ,所以b=a2−c2=2 .
所以椭圆的方程是x29+y24=1 .故选C.
3.在平面直角坐标系Oxy 中，已知△ABC 的顶点A−4,0 和C4,0 ，顶点B 在椭圆x225+y29=1 上，则sin A+sinCsinB= ( A )
A. 54 B. 52 C. 5 D. 53
[解析]选A.在椭圆x225+y29=1 中，a=5 ，b=3 ，则c=a2−b2=4 ，故点A ，C 为椭圆的焦点，因此，sinA+sinCsinB=BC+ABAC=2a2c=54 .故选A.
4.设椭圆E 的两焦点分别为F1 ，F2 ，以F1 为圆心，F1F2 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点.若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为( A )
A. 2−1 B. 5−12 C. 22 D. 2+1
[解析]选A.不妨设椭圆E 的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0 ，因为△PF1F2 为直角三角形，所以PF1⊥F1F2 ，又PF1=F1F2=2c ,所以PF2=22c ,所以PF1+PF2=2c+22c=2a ,所以椭圆E 的离心率e=ca=2−1 .故选
A.
5. （多选）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F1 ，F2 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63 ，过焦点F1 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ACD )
A. 椭圆C 的方程为y23+x2=1 B. 椭圆C 的方程为x23+y2=1
C. PQ=233 D. △PF2Q 的周长为43
[解析]选ACD.由已知得，2b=2 ,b=1 .
ca =63, 又a2=b2+c2,解得a2=3 .
所以椭圆C 的方程为x2+y23=1 ,如图，所以PQ=2b2a=23=233 ,△PF2Q 的周长为4a=43 .故选ACD.
6. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为x24+y23=1 （答案不唯一）.
[解析]不妨设椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0 .
因为长轴长等于离心率8倍，故2a=8×ca ，即a2=4c ,不妨令c=1 ，则a2=4 ,b2=3 ，所以满足条件的一个椭圆的标准方程为x24+y23=1 .
7. 已知F1 ，F2 分别为椭圆C:x24+y23=1 的左、右焦点，直线x−3y+1=0 与椭圆交于P ，Q 两点，则△PQF2 的周长为8.
[解析]由题意得，F1−1,0 ，F21,0 ，直线x−3y+1=0 过左焦点F1−1,0 ，所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a=4 ，PQ=PF1+QF1 ，所以C△PQF2=PQ+QF2+PF2=PF1+QF1+QF2+PF2=4a=8 .
8. 设P 是椭圆C:x2a2+y26=1a>6 上任意一点，F 为C 的右焦点，PF 的最小值为2 ，则椭圆C 的离心率为12 .
[解析]由题意得a−c=2 ，所以a−a2−6=2 ，解得a=22 ，所以e=ca=8−622=12 .
9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为23 ，离心率为32 .
（1） 求椭圆C 的标准方程；
[答案]解：依题意得2c=23 ,c=3 ，
离心率e=ca=3a=32 ，解得a=2 ，
所以b=a2−c2=1 ，
所以椭圆C 的标准方程为x24+y2=1 .
（2） 若点A0,1 ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值.
[答案]设Bx,y ，则x24+y2=1 ，
得AB2=x2+y−12
=4−4y2+y2−2y+1
=−3y2−2y+5=−3y+132+163 ，
其中−1≤yb>0 的右焦点为F ，P ，Q 是椭圆上关于原点对称的两点，M ，N 分别是PF ，QF 的中点.若以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是[22,1) .
[解析]设点Px0,y0 ,
则Q−x0,−y0 ,又点Fc,0 ,
所以Mx0+c2,y02 ，
N−x0+c2,−y02 ，
又以MN 为直径的圆过原点，
则有OM⊥ON ，所以OM⋅ON=0 ，
即x0+c2⋅−x0+c2−y02⋅y02=0 ,
所以c2−x02−y02=0 ,
又x02a2+y02b2=1 ,
所以c2a2x02+b2−c2=0 ,得x02=a22c2−a2c2 ,
所以0≤a22c2−a2c29 右焦点F 的圆与圆O:x2+y2=4 外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 的最小值为1.
[解析]椭圆x2m+y2m−9=1m>9 ,c=m−m−9=3 ，所以F3,0 .
设以FQ 为直径的圆的圆心为C ，如图所示，
因为圆O 与圆C 外切，所以OC−CF=2 ，
因为QF1=2OC ，QF=2CF ，
所以QF1−QF=2OC−CF=4b>0 ，且b=6 ，
因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e=1−6a2=22 ，解得a2=12 ，
所以椭圆C2 的方程为y212+x26=1 .
（2） 设P 为椭圆C2 上异于A1 ，A2 的任意一点，过P 作PQ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C1 于点H.求证：A1H⊥PA2 .
[答案]证明：不妨设Pm,n ，其中n>0 ，则n212+m26=1 ，可得m2=6−n22 ，
把x=m 代入椭圆C1:x26+y23=1 ，可得y=3−m22 ，所以Hm,3−m22 ，
所以kA1H=3−m22m+6 ,kPA2=nm−6 ，
所以kA1H⋅kPA2=3−m22m+6×nm−6=n⋅3−m22m2−6=−n2⋅6−m2=−n2⋅6−6−n22=−1 .
所以A1H⊥PA2 .