2025年高考数学一轮复习-8.6.2-双曲线的综合问题-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.6.2-双曲线的综合问题-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了已知双曲线C，若P是双曲线C，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。
基 础 巩固练
1.平面上有两个定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线”,则甲是乙的( )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.x2+(y-3)2−x2+(y+3)2=4表示的曲线方程为( )
A.x24−y25=1(x≤-2)
B.x24−y25=1(x≥2)
C.y24−x25=1(y≤-2)
D.y24−x25=1(y≥2)
3.已知F1,F2分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF2|2=8|F1F2|,则|PF1|=( )
A.62B.22
C.22+4D.22+2
4.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±22x,则C的离心率e=( )
A.3B.324
C.22D.223
5.(多选题)若P是双曲线C:x24−y2m=1上一点,C的一个焦点为F(4,0),则下列结论正确的是( )
A.m=23
B.渐近线方程为y=±3x
C.|PF|的最小值是2
D.焦点到渐近线的距离是23
6.(多选题)已知椭圆与双曲线有共同的左、右焦点F1,F2,设椭圆和双曲线其中一个公共点为P,且满足∠F1PF2=90°,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则下列关于e1和e2的说法正确的是( )
A.1e12+1e22=2B.1e1+1e2=2
C.e1e2>1D.e1e2b>0)两条渐近线的夹角为π3,则此双曲线的离心率为 .
9.①m>0,且C的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为3+3,②C的焦距为6,③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4.在以上三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题.
问题:已知双曲线C:x2m−y22m=1, ,求C的方程.
综 合 提升练
10.图1展示的是一水平放置的青花瓷,它的颈部(如图2)外形上下对称,可看成是双曲线(如图3)的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的最小直径是瓶口直径的35,颈部的高是瓶口直径的1.5倍,则该双曲线的渐近线方程为( )
图1
图2
图3
A.y=±52xB.y=±54x
C.y=±158xD.y=±154x
11.(2023苏州质检)已知F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,双曲线的离心率e∈3,5,则a2的取值范围为( )
A.2,22B.4,42
C.24,1D.22,1
12.双曲线C:y2a2-x2=1(a>0)的离心率为103,F是C的下焦点,若P为C的上支上的动点,设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+|PF|的最小值为( )
A.6B.7C.8D.9
13.(2023扬州质检)如图,已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C的右支上一点A,它关于原点O的对称点为B,满足∠AFB=120°,且|BF|=2|AF|,则双曲线C的离心率是.
14.(2024南京、盐城一模)已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线,其两条渐近线为x轴和y轴,两条渐近线的夹角为π2,将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为2.已知函数y=33x+1x的图象也是双曲线,其两条渐近线为直线y=33x和y轴,则该双曲线的离心率是 .
15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.
(1)求C的方程.
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
创 新 应用练
16.如图1,首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映,实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2,冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为16 m,上口半径为17 m,下口半径为28.5 m,高为70 m.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系,设|OA|=16,|DC|=17,|EB|=28.5,|DE|=70,则双曲线的方程近似为( )
图1
图2
图3
参考数据:28.52162≈3.17,28.52172≈2.81,172162≈1.13
A.x2162−y2382=1B.x2162−y2482=1
C.x2172−y2382=1D.x2172−y2482=1
17.某科学考察队在某地考察时,在O点西侧、东侧20千米处分别设立了站点A,B,现以O点为坐标原点,O的东侧为x轴正半轴,O的北侧为y轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)若考察发现一点P满足|PA|-|PB|=20(千米),据此写出P所在的曲线方程;若进一步观察到,P在O的北偏东60°方向处,求P点的坐标.
(2)现又在距离O点15千米的南侧、北侧分别设立了站点C,D,另发现一点Q满足|QA|-|QB|=30(千米),|QC|-|QD|=10(千米),求O到Q的距离(精确到1米)和点Q相对于O的方向(精确到1°).
参考答案
1.D 2.C 3.A 4.B 5.BCD 6.AC
7.x2-y28=1(x≤-1) 8.233
9.解 选择条件①.
因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=m,c=3m.
因为C的左支上的点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以m+3m=(1+3)m=3+3,
解得m=3,故C的方程为x23−y26=1.
选择条件②.
因为C的焦距为6,所以c=3.
若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,
所以c=3m=3,解得m=3,则C的方程为x23−y26=1;
若m0,则a2=m,所以a=m=2,解得m=4,则C的方程为x24−y28=1;
若m