2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线【导学案】，共34页。

1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝p1−csαF|＝p1+csα，
特别地1AF+1BF＝2p；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4．( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝14x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．1716 B．1516
C．78 D．0
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
考点一 抛物线的定义及应用
动点轨迹的判定
[典例1] (1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[听课记录]



抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
[听课记录]



抛物线定义的应用规律
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东珠海模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为( )
A．4 B．23
C．22 D．2
(2) 已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例3] (1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
[听课记录]



1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]
2．(1)(2023·湖北武汉二模)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝83
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
[听课记录]



解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[跟进训练]
3．(1)(2024·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是( )
A．10 B．9
C．8 D．5
(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|＞|OA|2
D．|BP|·|BQ|＞|BA|2
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0), 过抛物线准线y＝－p2上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2py0+y2＝p(y0＋y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴．
[典例1] (多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是( )
A．点P(3，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
[听课记录]



[典例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p的值；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
[听课记录]



参考答案与解析
[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3．了解抛物线的简单应用.4．理解数形结合的思想．
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论]
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝p1−csαF|＝p1+csα，
特别地1AF+1BF＝2p；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y1－y2|．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4．( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝14x2的准线方程是( )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A [∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1．]
2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．1716 B．1516
C．78 D．0
B [M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
B [抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]
考点一 抛物线的定义及应用
动点轨迹的判定
[典例1] (1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(1)D (2)D [(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.
(2)设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.]
抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
(1)D (2)42或22 [(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4.
又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4.故选D.
(2)当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p＝42.
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得402+20−p22＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
]
抛物线定义的应用规律
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东珠海模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为( )
A．4 B．23
C．22 D．2
(2) 已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
(1)D (2)17－1 [(1)由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2，
根据抛物线的定义知|MF|＝yM＋p2＝yM＋1＝2，
解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，
所以△FMN的面积为12×2×2＝2.故选D.
(2)由题可知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，焦点坐标为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心坐标为E(0，4)，半径为R＝1，设点P到抛物线准线的距离为|PP′|，则|PP′|＝|PF|，故|PP′|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，所以当动点Q，P位于线段EF上时，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和最小，此时|PP′|＋|PQ|＝|EF|－R＝17－1．]
【教师备选资源】
(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，则拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C．115 D．3716
B [拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，
设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，
点F到直线l1的距离为d3＝3×0−4×1−632+−42＝2，
则d2＝d＋1＝|PF|＋1，
可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，
当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.]
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例3] (1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(1)AC (2)x＝－32 [(1)点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－12y，
所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－12y.故选AC.
(2)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以OFPF＝PFFQ，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.
法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，PF2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.]
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
[跟进训练]
2．(1)(2023·湖北武汉二模)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．
(1)B (2)B (3)3 [(1)设准线l与x轴交于点H(图略)，依题意∠QFH＝60°，|HF|＝3，|QH|＝33，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，
则△PQF为等边三角形，|PF|＝6.
故选B.
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，
则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，
∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝43.∵AE∥FG，∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.
(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4, 设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±23，所以△POF的面积为12|y|·|OF|＝12×23×1＝3.
法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝p1−csθ＝21−csθ＝4，∴cs θ＝12，即θ＝60°.
设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×32＝23.
∴S△POF＝12×|OF|×|y|＝12×1×23＝3.]
【教师备选资源】
(2023·广东佛山二模)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F.现有四位同学对该方程进行判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；
乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；
丁：可以是双曲线的标准方程．
其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [因为方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，
所以当A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝－1≥F＝－2时，方程为x2－y－2＝0，即y＝x2－2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为2x2＋y2－1＝0，即y2＋x212＝1是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有AB＜0，C＝D＝E＝0，F＜0，这与A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程．
所以真命题有3个．故选C.]
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝83
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
(1)AC (2)(－2，2) [(1)由题意，易知直线y＝－3(x－1)过点(1，0)．
因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，A正确．
不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x10)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
____________
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
____________
____________
F0，−p2
离心率
e＝1
准线方程
____________
x＝p2
y＝－p2
____________
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Fp2，0
F−p2，0
F0，p2
F0，−p2
离心率
e＝1
准线方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R