2025年高考数学一轮复习-9.3-随机事件的概率与古典概型-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.3-随机事件的概率与古典概型-专项训练【含答案】，共11页。
1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50 kW·h到350 kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200 kW·h时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200 kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位： kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式；
(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？
2．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
3．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
(1)根据条件完成下列2×2列联表：
(2)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；
(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为12，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为13，且每轮每次挑战是否通过相互独立．记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：
χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.
4．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求：
(1)X1的分布列；
(2)数列{an}的通项公式；
(3)Xn的期望．
5．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．
①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X ＝99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n.
参考公式：χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d.
6．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响．
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．
①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式；
②若E(Xi)>100，求i的最小值．
参考答案
1．解：(1)根据题意，得当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t；
当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.
综上，宿舍的月用电费用为y＝0.5t，50≤t≤200，t−100，t>200．
(2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)．
2．解：(1)不妨设第75百分位数为a，
此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，
解得a＝36.25.
(2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人．
①第一组应抽取2人，记为A，甲，
第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，
此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点，
记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M，
此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝815.
②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x，y，方差分别为s2，s′2，
此时x＝36，y＝42，s2＝1，s′2＝2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s″2，
此时z＝8x12+4y12＝8×36+4×4212＝38，
s″2＝8s2+x−z2+4s'2+y−z212
＝81+36−382+42+42−38212＝283，
故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为283.
3．解：(1)根据条件得2×2列联表如表所示．
(2)零假设为H0：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，根据列联表的数据，经计算得到χ2＝100×15×20−20×45235×65×60×40≈6.5933.841＝x0.05，
根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，以此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，
则P(A)＝160200＝0.8，P(B|A)＝2040＝0.5，
P(C)＝1－P(A B)＝1－P(A)P(B|A)＝1－0.2×0.5＝0.9，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p＝0.9.
②由题意，知随机变量X～B(n，0.9)，
P(X＝k)＝Cnk×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，n)，
因为P(X＝99)最大，
所以Cn99×0.999×0.1n−99≥Cn98×0.998×0.1n−98，Cn99×0.999×0.1n−99≥Cn100×0.9100×0.1n−100，
解得109≤n≤11019，
因为n是整数，所以n＝109或n＝110，
所以接受接种试验的人数为109或110.
6．解：(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率P(A)＝C31×34×1−342＝964.
(2)①甲第1次答题得20分，10分的概率分别为34，14，则E(X1)＝20×34＋10×14＝352，甲第2次答题得40分，20分，10分的概率分别为34×34，14×34，14，
则E(X2)＝40×34×34＋20×14×34＋10×14＝1154，显然E(X2)＝220×34+10×14×34＋10×14＝32E(X1)＋52，
当i≥2，i∈N*时，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，
因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为34，14，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×34＋10×14＝32E(Xi－1)＋52，
所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是E(Xi)＝32E(Xi－1)＋52，i≥2，i∈N*，且E(X1)＝352.
②由①知，E(X1)＝352，当i≥2，i∈N*时，E(Xi)＋5＝32[E(Xi－1)＋5]，而E(X1)＋5＝452，
因此数列{E(Xi)＋5}是以452为首项，32为公比的等比数列，E(Xi)＋5＝452×32i−1＝15×32i，
于是E(Xi)＝15×32i－5，由15×32i－5>100得：32i>7，显然数列32i是递增数列，
而324＝81167，则有正整数imin＝5，
所以i的最小值是5
性别
接受挑战情况
合计
愿意
不愿意
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
性别
接受挑战情况
合计
愿意
不愿意
男生
15
45
60
女生
20
20
40
合计
35
65
100
X
0
1
2
P
14
13
512
X1
0
1
2
P
29
59
29
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200