2025年高考数学一轮复习-9.4-事件的相互独立性与条件概率-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.4-事件的相互独立性与条件概率-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了7　　　　　　　　　B，故选B等内容，欢迎下载使用。
1．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为( )
A．0．7 B．0．58
C．0．12D．0．46
2．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为eq \f(3,4)，超过1 000次的概率为eq \f(1,2)，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
3．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为eq \f(1,6)
B．2个球不都是红球的概率为eq \f(1,3)
C．至少有1个红球的概率为eq \f(2,3)
D．2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,2)
4．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5)B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2)D．P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)
5．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
6．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0．9，超过2年的概率为0．63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为________．
7．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．85,0．64,0．45,0．32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________．
8．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．
9．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0．6,0．5,0．4，能通过面试的概率分别是0．6,0．6,0．75．
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(3,4)
C．eq \f(2,9)D．eq \f(5,9)
11．某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为eq \f(3,4)；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为eq \f(1,4)．若他第1球投进的概率为eq \f(3,4)，则他第2球投进的概率为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(5,8)
C．eq \f(7,16)D．eq \f(9,16)
12．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)超过1 000小时的概率均为eq \f(1,2)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
13．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员．该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为eq \f(1,2)，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为________，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为________﹒
14．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
9.4-事件的相互独立性与条件概率-专项训练【解析版】
1．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为( )
A．0．7 B．0．58
C．0．12D．0．46
解析：B 两个人各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，所以都没有命中的概率为(1－0．4)×(1－0．3)＝0．42，所以至少有一人命中的概率为1－0．42＝0．58．故选B．
2．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为eq \f(3,4)，超过1 000次的概率为eq \f(1,2)，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
解析：B 记事件A为“该充电宝循环充电超过500次”，则P(A)＝eq \f(3,4)，记事件B为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则P(B)＝eq \f(1,2)，易知P(AB)＝P(B)＝eq \f(1,2)，所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)＝eq \f(2,3)．故选B．
3．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为eq \f(1,6)
B．2个球不都是红球的概率为eq \f(1,3)
C．至少有1个红球的概率为eq \f(2,3)
D．2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,2)
解析：ACD 对于A选项，2个球都是红球的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为1－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，D选项正确．故选A、C、D．
4．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5)B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2)D．P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)
解析：ABC P(A)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正确；P(AB)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正确；P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正确；P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,5))＝eq \f(2,5)，P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(P\(A,\s\up6(－))B,\a\vs4\al(P\(A,\s\up6(－))))＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D错误．故选A、B、C．
5．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
解析：记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件eq \(A,\s\up6(－))，记“价格上涨”为事件C，由题意知：P(A)＝60%，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝40%，P(C|A)＝80%，P(C|eq \(A,\s\up6(－)))＝40%，∴P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(C|eq \(A,\s\up6(－)))＝48%＋16%＝64%．
答案：64%
6．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0．9，超过2年的概率为0．63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为________．
解析：设一个这种元件使用1年的事件为A，使用2年的事件为B，则P(A)＝0．9，P(AB)＝0．63，所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.63,0.9)＝0．7．
答案：0．7
7．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．85,0．64,0．45,0．32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为________．
解析：设B表示“该小组比赛中射中目标”，Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，则P(B)＝eq \i\su(i＝1,4,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(2,20)×0．85＋eq \f(6,20)×0．64＋eq \f(9,20)×0．45＋eq \f(3,20)×0．32＝0．527 5．
答案：0．527 5
8．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．
解析：设“取出的棋子来自甲盒”为事件A，“取出的棋子是黑色棋子”为事件B，则所求概率为事件B发生的情况下事件A发生的概率，即P(A|B)．由题意知，P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,9)＝eq \f(1,6)，P(B)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(4,8)＝eq \f(5,12)，所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(1,6)×eq \f(12,5)＝eq \f(2,5)．
答案：eq \f(2,5)
9．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0．6,0．5,0．4，能通过面试的概率分别是0．6,0．6,0．75．
(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；
(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
解：(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事件，记事件E表示“恰有一人通过笔试”，则P(E)＝P(A1eq \a\vs4\al(\x\t(A)2) eq \a\vs4\al(\x\t(A)3))＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3)＋P(eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3)＝0．6×0．5×0．6＋0．4×0．5×0．6＋0．4×0．5×0．4＝0．38，故恰有一人通过笔试的概率为0．38．
(2)分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，
则P(A)＝0．6×0．6＝0．36，P(B)＝0．5×0．6＝0．3，P(C)＝0．4×0．75＝0．3．
记事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则eq \(F,\s\up6(－))表示“甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取”，又eq \(F,\s\up6(－))＝eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－))，
于是P(F)＝1－P(eq \(F,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－0．64×0．7×0．7＝0．686 4．
故经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率为0．686 4．
10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(3,4)
C．eq \f(2,9)D．eq \f(5,9)
解析：C 由已知有P(B)＝eq \f(33,44)＝eq \f(27,256)，P(AB)＝eq \f(A\\al(3,3),44)＝eq \f(3,128)，所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(2,9)．
11．某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为eq \f(3,4)；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为eq \f(1,4)．若他第1球投进的概率为eq \f(3,4)，则他第2球投进的概率为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(5,8)
C．eq \f(7,16)D．eq \f(9,16)
解析：B 记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，P(B|A)＝eq \f(3,4)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,4)，P(A)＝eq \f(3,4)，由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(5,8)．故选B．
12．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)超过1 000小时的概率均为eq \f(1,2)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq \f(1,2)，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(3,8)．
答案：eq \f(3,8)
13．某科考队有甲、乙、丙三个勘探小组，每组三名队员．该队执行考察任务时，每人佩戴一部对讲机与总部联系，若每部对讲机在某时段能接通的概率均为eq \f(1,2)，且对讲机能否接通相互独立．甲组在该时段能联系上总部的概率为________，在该时段至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为________﹒
解析：甲组在该时段不能联系上总部的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，故甲组在该时段能联系上总部的概率为1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8)．至少两组与总部取得联系有两种情况：一种是两组与总部取得联系，其概率为Ceq \\al(2,3)×eq \f(7,8)×eq \f(7,8)×eq \f(1,8)＝eq \f(147,512)．另一种是三组与总部取得联系，其概率为：eq \f(7,8)×eq \f(7,8)×eq \f(7,8)＝eq \f(343,512)，至少有两个勘探小组可以与总部取得联系的概率为eq \f(147,512)＋eq \f(343,512)＝eq \f(245,256)．
答案：eq \f(7,8) eq \f(245,256)
14．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为Ceq \\al(2,8)＝eq \f(8×7,2)＝28，
这2个产品都是次品的事件数为Ceq \\al(2,3)＝3．
∴这2个产品都是次品的概率为eq \f(3,28)．
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,8))＝eq \f(5,14)，P(B2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,3),C\\al(2,8))＝eq \f(15,28)，
P(B3)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,28)，
P(A|B1)＝eq \f(2,3)，P(A|B2)＝eq \f(5,9)，P(A|B3)＝eq \f(4,9)，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq \f(5,14)×eq \f(2,3)＋eq \f(15,28)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,28)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,12)．