2025年高考数学一轮复习-11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【含解析】，共12页。
【基础落实练】
1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为( )
A.25B.10C.7D.6
2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X0(i∈N*),X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则( )
A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=3D.D(X)=23
12.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:
则当a在(0,12)内增大时( )
A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小
C.D(ξ)先增大再减小 D.D(ξ)先减小再增大
13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=__________,E(ξ)=________.
14.(10分)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况,从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生,获奖情况统计结果如下:
假设所有学生的获奖情况相互独立.
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等奖的概率;
(2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取1名,以X表示这2名学生中获奖的人数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)用频率估计概率,从该地区高一学生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p0;从该地区高一男生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p1;从该地区高一女生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p2,试比较p0与p1+p22的大小.(结论不要求证明)
11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:80分)
【基础落实练】
1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为( )
A.25B.10C.7D.6
【解析】选C.X的可能取值为1+2=3,1+3=4,
1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.
2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
【解析】选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
【解析】选B.由题意可知E(Y)=2E(X)+b=4+b,D(Y)=4D(X)=32,
所以E(X)=2,D(X)=8.
4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X0(i∈N*),X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则( )
A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=3D.D(X)=23
【解析】选B.因为A=B={1,2,3},所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6,
P(X=2)=13×13=19,P(X=3)=13×13+13×13=29,P(X=4)=13×13+13×13+13×13=39=13,P(X=5)=13×13+13×13=29,P(X=6)=13×13=19,所以p4=3p2,A错误;
P(3≤X≤5)=29+13+29=79,B正确;
E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×19=4,C错误;
D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×19=43,D错误.
12.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:
则当a在(0,12)内增大时( )
A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小
C.D(ξ)先增大再减小 D.D(ξ)先减小再增大
【解析】选AC.由随机变量ξ的分布列得
0≤b-a≤1,0≤b≤1,0≤a≤1,b-a+b+a=1,解得b=0.5,0≤a≤0.5,所以E(ξ)=0.5+2a,0≤a≤0.5.
故a在(0,12)内增大时,E(ξ)增大.
D(ξ)=(-2a-0.5)2(0.5-a)+(0.5-2a)2×0.5+(1.5-2a)2a=-4a2+2a+14=-4(a-14)2+12,
所以当a∈(0,14)时,D(ξ)增大,当a∈(14,12)时,D(ξ)减小,
故当a在(0,12)内增大时,D(ξ)先增大再减小.
13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=__________,E(ξ)=________.
【解析】由题意可得,P(ξ=2)=C42C4+m+n2=12(4+m+n)(3+m+n)=16,化简,得(m+n)2+
7(m+n)-60=0,解得m+n=5(负值舍去),取出的两个球一红一黄的概率P=C41Cm1C4+m+n2=
4m36=13,解得m=3,故n=2.所以m-n=1,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,且P(ξ=2)=16,
P(ξ=1)=C41C51C92=59,P(ξ=0)=C52C92=518,所以E(ξ)=0×518+1×59+2×16=89.
答案:1 89
14.(10分)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况,从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生,获奖情况统计结果如下:
假设所有学生的获奖情况相互独立.
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等奖的概率;
(2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取1名,以X表示这2名学生中获奖的人数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)用频率估计概率,从该地区高一学生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p0;从该地区高一男生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p1;从该地区高一女生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p2,试比较p0与p1+p22的大小.(结论不要求证明)
【解析】(1)设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”,则P(A)=C101C251C2001C3001=1240.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B,C相互独立,
且P(B)估计值为10+15+15200=15,P(C)估计值为25+25+40300=310.
所以P(X=0)=P(B C)=P(B)P(C)=1-15×1-310=1425,
P(X=1)=P(BC∪BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)=15×1-310+1-15×310=1950,
P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=15×310=350.
所以X的分布列为
故X的数学期望EX=0×1425+1×1950+2×350=12.
(3)p0>p1+p22,理由:根据频率估计概率得p0=40+90500=1350=52200,由(2)知p1=15,p2=310,
故p1+p22=15+3102=14=50200,则p0>p1+p22.
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
X
2
3
4
P
110
310
35
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
X
0
1
2
P
1425
1950
350