2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题-专项训练【含答案】，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．24π C．36π D．144π
2．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )
A．2 B．4
C．26 D．46
3．已知三棱锥P-ABC，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )
A．27π2 B．273π2
C．273π D．27π
4．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
A．6π6 B．π3
C．π6 D．3π3
5．在四面体ABCD中，AB＝2，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝25，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为( )
A．31615π B．7915π
C．1585π D．795π
7．如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为( )
A．60π B．75π
C．35π D．352π
8．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．123 B．183
C．243 D．543
二、多项选择题
9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( )
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为43
D．球O的内接正四面体的棱长为2
10．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则( )
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
三、填空题
11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
12．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD⊥平面BCD.四面体A-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．
13．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°， 则球O的体积为( )
A．86π B．46π
C．26π D．6π
14．已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为( )
A．18 B．643
C．814 D．27
15．(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为________．
参考答案
1．C [由题意知，正方体的体对角线就是球的直径，
∴2R＝232+232+232＝6，
∴R＝3，
∴S球＝4πR2＝36π.]
2．B [设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(23)2，即R2＝22＋(23)2＝16，所以R＝4，故选B.]
3．B [∵三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.
∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.
以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．
∵正方体的体对角线长为32+32+32＝33，∴其外接球半径R＝332.因此三棱锥P-ABC的外接球的体积V＝4π3×3323＝273π2.]
4．C [平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝33×22＝66.
∴S＝πr2＝π×16＝π6，故选C. ]
5．B [取AB的中点O，
由AB＝2，DA＝DB＝CA＝CB＝1，
得CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，
可得∠ACB＝∠ADB＝90°，
所以OA＝OB＝OC＝OD＝22，
即O为外接球的球心，球的半径R＝22，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝2π.]
6．A [在三棱锥P-ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，
而AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，因此PA⊥平面ABC，
在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cs ∠ABC＝12BCAB＝14，
sin ∠ABC＝1−cs2∠ABC＝154，
令△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝12·ACsin∠ABC＝815，
有OO1∥PA，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又O1A⊂平面ABC，即O1A⊥PA，
从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，
因此球O的半径R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝8152＋12＝7915，
所以球O的表面积S＝4πR2＝31615π.
故选A.]
7．D [设球的半径为R，则4πR33＝500π3，所以R＝5，取圆台的轴截面ABCD，如图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为F，E，则E，F分别为AB，CD的中点，
连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，则OA＝OB＝OC＝OD＝5，
由垂径定理可知，OE⊥AB，OF⊥CD，
所以OE＝OA2−AE2＝52−42＝3，
OF＝OD2−DF2＝52−32＝4，
由球和圆台的结构可知，EF＝3＋4＝7，
所以AD＝72+1＝52，
因此圆台的侧面积为π(3＋4)×52＝352π.
故选D.]
8．B [由等边△ABC的面积为93，
可得34AB2＝93，所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2−r2＝16−12＝2.
所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6＝183.]
9．AD [设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为r.易得r＝233.因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，所以R2－19R2＝43，得R2＝32.所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足3a＝2R，得a＝2，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2R，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝263R＝263×62＝2，D正确．故选AD.]
10．ACD [设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，
故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，
∠OAD＋∠ODA＝π2，∠DOA＝π2，由△AOE∽△ODE，
故AEOE＝OEDE，即OE2＝DE·AE，
即R2＝r1r2＝3，解得R＝3，
母线长为r1＋r2＝4，A正确；
圆台的高为2R＝23，B错误；
圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确，
球O的表面积为4×π×(3)2＝12π，D正确．
故选ACD.]
11．12 [如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为EF2，而正方体的中心到每一条棱的距离均为EF2，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．
]
12．32π [如图，取BD
的中点E，BC的中点O.
连接AE，OD，EO，AO，
因为AB＝AD＝1，
所以AE⊥BD，
由于平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD.
因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2.
所以AE＝22，EO＝12，所以OA＝32.
在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝12BC＝32.
所以四面体A-BCD的外接球的球心为O，半径为32.
所以该球的体积V＝43π×323＝32π.]
13．D [因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，
因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π×623＝6π，故选D.]
14．B [如图，设正四棱锥的底面边长AB＝2a，高PO＝h，外接球的球心为M，则OD＝2a.
因为球的体积为43πR3＝36π，所以球的半径为R＝3，
在Rt△MOD中，MD2＝OD2＋OM2，即32＝2a2＋(h－3)2，所以正四棱锥的体积为V＝13Sh＝13×4a2h＝23[9－(h－3)2]h，
整理得V＝－23h3＋4h2(h＞0)，
则V′＝－2h2＋8h＝－2h(h－4)，
当0＜h＜4时，V′＞0，当h＞4时，V′＜0，
所以V＝－23h3＋4h2(h＞0)在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，所以当h＝4时，函数取得最大值－23×43＋4×42＝643.故选B.]
15．ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为2 m的正四面体，且2＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为3 m，3＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为3 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD.]
16．8π27 [依题意，此六面体的表面积S＝6×34×12＝332，边长为1的正三角形的外接圆半径r＝1×sin 60°×23＝33，显然此六面体是棱长为1的两个正四面体共底面而成，此正四面体的高h＝12−r2＝63，因此此六面体的体积V＝2×13×34×12×63＝26，六面体内的小球表面积最大时，小球为六面体的内切球，设此内切球半径为R，于是V＝13SR，即有13×332×R＝26，解得R＝69，所以小球的最大表面积为4πR2＝4π×692＝8π27