2025年高考数学一轮复习-第四章-第一节-导数的概念及其意义、导数的运算-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第一节-导数的概念及其意义、导数的运算-专项训练【含解析】，共12页。试卷主要包含了 已知函数fx=t2， [2024·德州模拟]， [2024·广东模拟]等内容，欢迎下载使用。
A. f'x=0,g'x=−2sin xB. f'x=2t,g'x=−2sin x
C. f'x=0，g'x=2sin xD. f'x=2t,g'x=2sin x
2. [2024·成都月考]已知函数fx=x2−2，则limΔx→0f3+Δx−f3Δx=（ ）.
A. 3B. 5C. 7D. 6
3. [2024·沧州月考]一质点做直线运动，它所经过的路程s与时间t的函数关系为st=t3+t2+1，若该质点在时间段[1,2]内的平均速度为v1，当t=2时的瞬时速度为v2，则v1+v2=（ ）.
A. 10B. 16C. 26D. 28
4. 已知函数y=fx的图象在点M3,f3处的切线方程是y=13x+23，则f3+f'3的值为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 5
5. 已知函数y=fx的部分图象如图所示，f'x是函数fx的导函数，则（ ）.
A. f'2f3'aB. f1'a>f3'a>f2'a
C. f2'a>f1'a>f3'aD. f3'a>f1'a>f2'a
8. [2024·延安测试]若曲线fx=2x+kcs x在点π,fπ处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k=（ ）.
A. 2B. ±22C. 2±2D. 2π±2
综合提升练
9. [2024·德州模拟]（多选题）已知函数fx的导函数为f'x，若存在x0，使得fx0=f'x0，则称x0是fx的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）.
A. fx=x2B. fx=1xC. fx=ln xD. fx=1ex
10. [2024·广东模拟]（多选题）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为rV，r'V为rV的导函数.已知rV在[0,3]上的图象如图所示，若0≤V1f1'a>f3'aD. f3'a>f1'a>f2'a
[解析]f'1a,f'2a,f'3a分别表示f1x,f2x,f3x的图象在x=a 处对应的切线的斜率，根据题目图象知f'1a>f'2a>f'3a.故选A.
8. [2024·延安测试]若曲线fx=2x+kcs x在点π,fπ处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k=（ B ）.
A. 2B. ±22C. 2±2D. 2π±2
[解析]∵fx=2x+kcs x，
∴f'x=2cs x−2x+ksin x，∴f'π=−2.
∵fπ=−2π+k，∴ 切线方程为y+2π+k=−2x−π，
可化为y=−2x−k.
令x=0，得y=−k，令y=0，得x=−k2，
∴12×−k×−k2=2，解得k=±22.故选B.
综合提升练
9. [2024·德州模拟]（多选题）已知函数fx的导函数为f'x，若存在x0，使得fx0=f'x0，则称x0是fx的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ABC ）.
A. fx=x2B. fx=1xC. fx=ln xD. fx=1ex
[解析]对于A，f'x=2x，令x2=2x，得x=0 或x=2，故有“巧值点”；
对于B，f'x=−1x2，令1x=−1x2，得x=−1，故有“巧值点”；
对于C，f'x=1x，
令ln x=1x，
作出y=ln x 与y=1x 的部分图象，如图，
结合y=ln x，y=1x的图象，知方程ln x=1x 有解，故有“巧值点”；
对于D，f'x=−e−x，令1ex=−e−x，方程无解，故无“巧值点”.故选ABC.
10. [2024·广东模拟]（多选题）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为rV，r'V为rV的导函数.已知rV在[0,3]上的图象如图所示，若0≤V1r'2，所以B 正确；
设V1=0,V2=3,则rV1+V22=r32,rV1+rV22=r32，由题图可知r32>r32，所以C 错误；
rV2−rV1V2−V1 表示AV1,rV1,BV2,rV2两点所在直线的斜率，r'V0表示CV0,rV0 处切线的斜率，因为V0∈V1,V2，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C,所以D 正确.故选BD.
11. [2024·上海月考]已知a,b为实数，函数y=ln x+ax的图象在x=1处的切线方程为4y−x−b=0，则ab的值为32 .
[解析]因为y=ln x+ax，所以y'=1x−ax2，则y'|x=1=1−a，
由x=1 处的切线方程为4y−x−b=0，得切线的斜率k=14，
所以1−a=14，得a=34，
所以y=ln x+34x，当x=1 时，y=34，所以切点为(1,34)，
将(1,34)代入切线方程得4×34−1−b=0，解得b=2，
所以ab=34×2=32.
12. [2024·重庆月考]（双空题）已知函数fx=x−ln 2x，则fx的导函数f'x=x−1xx>0 ，函数fx的图象在x=12处的切线方程为x+y−1=0 .
[解析]因为函数fx=x−ln 2x，
所以f'x=1−1x=x−1xx>0，
所以f'12=−1,f12=12，
所以函数fx 的图象在x=12 处的切线方程为y−12=−x−12，即x+y−1=0.
应用情境练
13. [2024·北京月考]某市实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1,t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2,t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④甲小区在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号为②③.
[解析]对于①，在[t1,t2] 这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区的增长量，所以甲小区的平均分出量小于乙小区的平均分出量，说法错误.
对于②,在[t2,t3] 这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区的增长量，所以乙小区的平均分出量大于甲小区的平均分出量，说法正确.
对于③,在t2 时刻，乙小区的图象比甲小区的图象陡，瞬时增长率大，说法正确.
对于④,甲小区的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误.
14. [2024·重庆检测]牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种求方程近似根的方法.如图，设r是fx=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx的切线l,l与x轴的交点的横坐标x1=x0−fx0f'x0f'x0≠0，称x1是r的“一次近似值”，过点x1,fx1作曲线y=fx的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标x2=x1−fx1f'x1f'x1≠0，称x2是r的“二次近似值”，重复以上过程，得到r的近似值序列.若fx=x2−2，取x0=2作为r的初始近似值，则fx=0的正根的“三次近似值”为577408 .（请用分数作答）
[解析]由题意得f'x=2x,xn+1=xn−fxnf'xn=xn−xn2−22xn=12xn+1xn，
当x0=2 时，x1=12x0+1x0=32,x2=12x1+1x1=1712,x3=12x2+1x2=577408.
创新拓展练
15. 在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下：如果函数fx在区间[a,b]上连续不断，在区间a,b内可导（存在导函数），在区间a,b内至少存在一个点x0∈a,b，使得fb−fa=f'x0⋅b−a，那么称x=x0为函数y=fx在区间[a,b]上的中值点.函数fx=ex+mx在[−1,1]上的中值点x0的值为lne−e−12 .
[解析]当x∈[−1,1] 时，由拉格朗日中值定理可得f'x0=f1−f−11−−1=e+m−e−1−m2=12e−e−1+m，
∵f'x=ex+m，
∴ex0+m=12e−e−1+m，即ex0=12e−e−1，
∴x0=lne−e−12.
16. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x是fx的导函数，f″x是f'x的导函数，则曲线y=fx在点x,fx处的曲率K=f″x{1+[f'x]2}32.
（1）若曲线fx=ln x+x与gx=x在点1,1处的曲率分别为K1,K2，比较K1,K2的大小；
（2）求正弦曲线ℎx=sin xx∈R曲率K的最大值.
[解析]（1）因为f'x=1x+1，f″x=−1x2，
所以K1=f''1{1+[f'1]2}32=11+2232=1532，
因为g'x=12x，g″x=−14x−32，
所以K2=g''1{1+[g'1]2}32=14[1+122]32=2532，
所以K1