数学（新高考通用02）-2025届新高三开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以，
又，所以或，故选C
2．为虚数单位，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．25
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A.
3．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】由，得，而，与平行，
因此，解得，所以实数λ的值为，故选D
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，即，
即，所以，故选B.
5．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆锥的母线长为，
所以这个陀螺的表面积是.
故选：C.
6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以.
故选：A．
函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，如图所示，
要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.
故选：C.
8.函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A．P(X＞32)＞P(Y＞32)
B．P(X≤36)＝P(Y≤36)
C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【解析】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；
B., ，所以，故B正确；
C. =，所以，故C正确；
D. ，，所以，故D正确.
故选：BCD
10.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．f（x）无最大值B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增D．f（0）为f（x）的一个极小值
【答案】ACD
【解析】，记
因为，且，在区间上显然递增，
所以记为的零点，则有
所以当时，，在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以当时，有极小值，D正确；
由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；
易知，故B错误
故选：ACD
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为，B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】设点，依题意，，整理得：，
对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；
对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；
对于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为
【答案】
【解析】由题,因为与轴垂直且,所以,即,
由双曲线的定义可知,则,,
又因为,则,即,则,所以
13.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】/
【解析】设曲线与的切点分别为，
易知两曲线的导函数分别为，，
所以，
则.
14.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 .
【答案】
【解析】由题意可得，
设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，
所以，
所以，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）已知分别是内角的对边，，．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
【解】（1）由及正弦定理可得
，
，
所以，
即，，
所以，所以由正弦定理得，
因为，所以，
由余弦定理得，
（2）由（1）知，
因为的面积为，
所以，解得，
则
16.（本小题满分15分）已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.
【解】（1）由焦点为得，又离心率，得到，
所以，所以椭圆C的方程为.
（2）设，，
联立，消y得，
，得到，
由韦达定理得，，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
所以，所以，即，满足，
所以直线l的方程为.
17．（本小题满分15分）如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点．
(1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离．
【解】（1）当时，满足题意．
是的中点，又因为是的中点，
所以，
又平面，且平面，
所以∥平面．
（2）由勾股定理得，
因为平面，平面ABC，
所以，
又，，平面，
所以平面，
而平面，故，
故就是二面角的平面角，所以，
所以为等腰直角三角形，且，
过作于，则平面，易得，
所以点到平面的距离等于，为．
18.（本小题满分17分）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
【解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
19.（本小题满分17分）已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
(1)若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
(3)若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）已知，则，得，
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”.
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
即，
故，
因为，得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，又，
故是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，即，.
令，则严格减，
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.
2
3
4