数学（上海地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷

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一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1-6题每个空格填对得4分，第7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1. 1,3,5
2. {x|x>0或x<−1}
3. 210
4. 35/0.6
5. 4
6. −52i
7. 24
8. 169
9. 282+35
10. 22025−2
11. 2
12. 1516，1
二、选择题（本大题共4题，满分18分）第13,14题每题4分，
第15,16题每题5分.
三、解答题（本题共5题，17-19 题每题 14分，第 20、21 题每题 18 分，共 78分).
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【详解】（1）依题意，AB⊥面BCD，且BD,BC⊂面BCD，
所以AB⊥BC，AB⊥BD，(2分)
因为面ABC⊥面ABD，面ABC∩面ABD=AB，BD⊂面BCD，且AB⊥BD，
所以BD⊥面ABC，（4分）
因为BC⊂面ABC，
所以BC⊥BD.（6分）
（2）取CD中点M，并连接AM、BM.

因为AC=AD，所以AM⊥CD，（7分）
由勾股定理可知BC=AC2−AB2=AD2−AB2=BD=AB.
因为BC=BD，所以BM⊥CD；（8分）
则根据二面角定义可知∠AMB是二面角A−CD−B的一个平面角，
且由图可知∠AMB为锐角.
由（1）AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B,BC,BD⊂面BCD，
所以AB⊥面BCD，（10分）
又因为MB⊂面BCD，
所以AB⊥BM，（12分）
设AB=a，可得BM=22a，则tan∠AMB=BABM=2，
即二面角的正切值为2.（14分）
18．(本题满分 14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【详解】（1）若m=23，此时该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，23，（2分）
则该应聘者应聘甲公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为P甲=C32131×232=49, （4分）
该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为P乙=16×23×23+56×23×13+56×13×23=49. （6分）
（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为X，应聘乙公司通过的项目数为Y，
根据题意可知，X~B3,23，则EX=3×23=2，（8分）
PY=0=16×13×1−m=118−118m，
PY=1=56×13×1−m+16×23×1−m+16×13×m=718−13m，
PY=2=56×23×1−m+56×13×m+16×23×m=59−16m，
PY=3=56×23×m=59m，（10分）
则随机变量Y的分布列为：
则EY=118−118m×0+718−13m×1+59−16m×2+59m×3=32+m，（12分）
因为应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，
所以32+m>2，即m>12，（13）
又0所以m的取值范围为12,1.（14分）
19．(本题满分 14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【详解】（1）函数f(x)=4x+k2x定义域为R，若fx是奇函数，则f0=1+k=0，解得k=−1，（4分）
此时f(x)=4x−12x=2x−2−x，f(−x)=2−x−2x=−2x−2−x=−f(x)，符合题意，
故k=−1.（6分）
（2）当k=1时，f(x)=4x+12x=2x+12x，（8分）
由2x>0，则2x+12x≥22x⋅12x=2，当且仅当2x=12x，即x=0时等号成立，（12分）
所以f(x)≥2，又不等式fx≥a恒成立，得a≤2，
则实数a的取值范围为−∞,2.（14分）
20．(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
【详解】（1）设Ax1,y1,Bx2,y2，因为线段AB的中点为M(1,m)，
所以x1+x2=2，y1+y2=2m，（1分）
将A，B代入椭圆C:x24+y23=1中，得3x12+4y12=123x22+4y22=12，
两式相减得，3(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0，
即6(x1−x2)+8m(y1−y2)=0，所以k=y1−y2x1−x2=−68m=−34m，（3分）
点M(1,m)在椭圆内，即14+m23<1,(m>0)，解得0所以k=−34m<−12．①（4分）
（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则x1−1+x2−1+x3−1=0，y1+y2+y3=0，（5分）
由（1）及题设得x3=3−(x1+x2)=1，y3=−(y1+y2)=−2m<0．
又点P在C上，14+4m23=1,所以m=34，从而P(1,−32)，|FP|=32．（7分）
于是|FA|=(x1−1)2+y12=(x1−1)2+3(1−x124)=2−x12．
同理|FB|=2−x22．所以|FA|+|FB|=4−12(x1+x2)=3，（9分）
故|FA|+|FB|=2|FP|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．（10分）
（3）设该数列的公差为d，
则2|d|=||FB|−|FA||=12|x1−x2|=12(x1+x2)2−4x1x2②（12分）
将m=34代入①得k=−1．（14分）
所以l的方程为y=−x+74，代入C的方程，并整理得7x2−14x+14=0．（16分）
故x1+x2=2，x1x2=128，代入②解得|d|=32128．（17分）
所以该数列的公差为32128或−32128．（18分）
21．(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
【详解】（1）∵函数f(x)=ax2+bx+5（常数a,b∈R）满足f(1)+f(−1)=14．
∴a+b+5+a−b+5=14，解得：a=2；(2分)
当b=0时，函数为偶函数，当b≠0时，函数为非奇非偶函数；(4分)
（2）由（1）得：f(x)=2x2+bx+5则f'(x)=4x−bx2，（6分）
若f(x)在区间−∞,−312上单调递减，
则f'(x)=4x−bx2≤0在区间−∞,−312上恒成立，（7分）
即b≥4x3在区间−∞,−312上恒成立，（8分）
当x=−312时，4x3=−2，为y=4x3的最小值，（9分）
所以b≥−2；（10分）
（3）由(2)可知，bmin=−2，所以f(x)=2x2−2x+5，（11分）
当x<0时，f(x)=2x2−2x+5>0恒成立，无零点，（12分）
当x>0时，f(x)=2x2−2x+5单调递增，（13分）
且f(1)=5>0,f(14)=18−8+5<0，（14分）
所以函数f(x)=2x2−2x+5在14,1有唯一零点q，（15分）
所以f(q)=2q2−2q+5=0即2q3−2+5q=0，
所以q1−q3=25，（16分）
又因为q+q4+q7+⋯+q3n−2+⋯=q1−q3=25，
所以存在唯一的递增的无穷正整数列an，
使得25=qa1+qa2+qa3+⋅⋅⋅+qan+⋅⋅⋅成立，且an=3n−2. （18分）
13
14
15
16
B
C
D
A
Y
0
1
2
3
P
118−118m
718−13m
59−16m
59m