数学（天津地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷

这是一份数学（天津地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷，文件包含数学天津专用解析版docx、数学天津专用答案及评分标准docx、数学天津专用考试版docx、数学天津专用答题卡docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，，
C．D．，
【答案】
【分析】先解分式不等式求出集合，再根据集合的基本运算即可求解．
【解答】解：，
或，
，
，
故选：．
2．（5分）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】根据或，，即可求解．
【解答】解：或，，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
3．（5分）三个数，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用指数、对数函数的性质可解．
【解答】解：，故，
又，且，故，
又，
故，
故选：．
4．（5分）函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．
【解答】解：当时，，，，排除选项和；
当时，，选项错误，
故选：．
5．（5分）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三棱锥的表面积，求出正方体的棱长，由正方体的对角线即为外接球的直径，求得正方体的外接球的半径，由球的体积公式计算可得所求值．
【解答】解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
则，
解得，
又，
即，
所以正方体的外接球的体积为．
故选：．
6．（5分）若的二项式展开式中的系数为10，则
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】依题意，可得，解之即可．
【解答】解：的二项式展开式中的系数为，
依题意，得，
解得．
故选：．
7．（5分）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】
【分析】根据题意，由空间中线线、线面、面面之间的位置关系依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，设直线，的方向向量分别为，则平面，对应法向量为，由，即，则，故正确；
对于，若，，，则与可能平行或相交，故错误；
对于，若，，，则，或，或与相交，故错误；
对于，若，，则，又，则或，错误．
故选：．
8．（5分）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】
【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．
【解答】解：因为，
①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；
②，不是的最大值，故②错误；
③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．
故选：．
9．（5分）设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式，即可得出答案．
【解答】解：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，则，
，
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
，
则，
的面积的最大值为．
故选：．
第二部分（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10．（5分）为虚数单位，当复数为纯虚数时，实数的值为 ．
【分析】复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0；由此解答．
【解答】解：因为复数为纯虚数，所以且，解得；
故答案为：1．
11．（5分）计算： ．
【答案】．
【分析】由指数及对数的运算性质求解即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
12．（5分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教．选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 ；设为选出的3名同学中女同学的人数，则的数学期望为 ．
【分析】从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教．基本事件总数，设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件，事件包含的基本事件个数，由此能求出选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；随机变量的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望．
【解答】解：从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教．
基本事件总数，
设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件，
事件包含的基本事件个数，
则选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为：
（A）．
随机变量的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列是：
．
13．（5分）直线过点且与圆交于、两点，如果，那么直线的方程为 ．
【分析】由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径，由弦的长及圆的半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离为3，分两种情况考虑：当直线与轴垂直时，直线满足题意；当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，根据直线过及设出的斜率表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，让等于3列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：由圆，得到圆心坐标为，半径，
，，圆心到直线的距离，
若直线垂直于轴，此时直线方程为，
而圆心到直线的距离为3，符合题意；
若直线与轴不垂直，设直线斜率为，其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
此时直线的方程为：，
综上，所有满足题意的直线方程为：或．
故答案为：或
14．（5分）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，，，，（如图），则四棱锥的体积为 ．
【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．
【解答】解：正方体的棱长为1，的底面是正方形的边长为：，
四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，
四棱锥的体积：．
故答案为：．
15．（5分）如图，在中，为中点，为上一点，且满足的面积为，则 ；的最小值为 ．
【分析】根据，，三点共线，以及，求出的值，将面积转化为，再根据平面向量模长公式结合基本不等式求出的最小值即可．
【解答】解：为的中点，，
，
点，，三点共线，，
，
，，
，即，，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为．
故答案为：；．
解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据余弦定理即可求出的大小，
（2）根据正弦定理即可求出的值，
（3）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
【解答】解：（1）由余弦定理以及，
则，
，
；
（2）由正弦定理，以及，，，可得；
（3）由，及，可得，
则，
，
．
17．（15分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
【解答】解：（1）由，得
，（2），
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，．
则，
所求的切线方程为；
切点为．
18．（15分）如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得，2，．可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
（Ⅱ）求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长．
【解答】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面；
（Ⅱ）解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：设，，为平面的法向量，
则，取，可得，
由题意，，解得．
经检验，符合题意．
线段的长为．
19．（15分）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求．
【分析】（1）设等比数列的公比为，，由等比数列的通项公式可得，可得所求等比数列的通项公式；设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和性质，可得，可得所求等差数列的通项公式；
（2）运用等比数列的求和公式可得，由数列的分组求和和错位相减法求和，化简可得所求和．
【解答】解：（1）是等比数列，公比大于0，
，，可得，解得舍去），
；
是公差为的等差数列，，．
可得，，
则，，可得，
则；
（2），
，
设，
，
相减可得
，
化为，
则．
20．（16分）已知函数，其中，．
（1）若曲线在点，（2）处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，，不等式在，上恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得；
（2）利用判断函数的单调性，注意对分类讨论；
（3）由题意得即可得出结论．
【解答】解：（1），由导数的几何意义得（2），于是，
由切点，（2）在直线上可得，
解得，所以函数的解析式为．
，
当时，显然，这时在，内是增函数；
当时，令，解得；
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，，内是增函数，在，，内是减函数．
（3）由（2）知，在上的最大值为与（1）中的较大者，
对于任意的，不等式，在上恒成立，
当且仅当，即，
对任意的成立，从而得满足条件的的取值范围是．
0
1
2
3
，
，
0
0
极大值
极小值