数学（广东地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷

这是一份数学（广东地区专用）-2025届新高三开学摸底考试卷，文件包含数学解析版docx、数学答案及评分标准docx、数学考试版docx、数学答题卡docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．或 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）由，
可得，
所以，
所以，
则，即.
（2）证明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，即，
因为，所以为锐角，解得（负值舍去），即，
所以为直角三角形.
16．（15分）
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意可知 ，解得，所以椭圆的标准方程为
（2）设，，
联立，消去，可得，
，则或
由韦达定理可得：，，
所以
因为，，即，
所以，解得：或
经检验知，所以的值为或，
当时，直线方程为，
原点到直线的距离，
因为，
所以
所以
当，由对称性可得，
所以的面积为
17．（15分）
【解析】（1）连接，因为为等边三角形，所以，
因为为正方形，所以
在四棱台中，，所以，
又平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为底面为正方形，为等边三角形，
所以，所以，
因为，，所以，所以，
又由（1），且，平面，
所以平面，即平面，
取的中点，连接，
以点为坐标原点，以，，分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
所以，即，得，
直线与平面所成角正弦值为，
则直线与平面所成角的余弦值为.
18．（17分）
【解析】（1）当时，，，
所以，，
所以切线方程为，即.
（2）当时，，
则，
要证明在上单调递增，
只需证明在上恒成立，
则只需证，即只需证.
设，则只需证
因为，所以在单调递增，
所以时，即时，成立，
所以，所以在上单调递增.
（3），即，两边取对数得：，即
设，令，得，
当时，，单调递减.
又因为，所以，在单调递减，
由，则在恒成立，即，
上式等价于，即，
由在单调递减，所以.
即实数的取值范围为.
19．（17分）
【解析】（1）因为
所以，
所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ，
（2）依题意，，
因为数列存在 “点”，所以存在 ，使得 ，
所以，即.
因为，所以，所以，
又随的增大而增大，所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，所以的取值范围为，
（3）①若，则数列不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若，则2是数列的 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列中第1个小于的项为，
则，所以是数列的第1个 “点”.
综上，数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证.1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
C
A
B
D
C
9
10
11
BC
ABC
BCD