数学浙教版3.3 垂径定理达标测试

这是一份数学浙教版3.3 垂径定理达标测试，共15页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列几个命题等内容，欢迎下载使用。
考点一： 垂径定理的概念
例1．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心
变式1-1．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
变式1-2．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
考点二：垂径定理的推论
例2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则CD的长为（ ）
A．26寸B．13寸C．24寸D．12寸
变式2-1．如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=CBB．OC=CNC．AN=BN D．AM=BM
变式2-2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（ ）
A．CE=EDB．BC=BDC．OE=BED．OA=OB
考点三：利用垂径定理求值
例3．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（ ）
A．1.8米B．1.6米C．1.5米D．1.4米
变式3-1．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BD最近的距离是（ ）
A．42 cmB．9−42cmC．42−2cmD．2 cm
变式3-2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（ ）
A．32B．3C．4D．42
考点四：垂径定理的实际应用
例4．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
变式4-1．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和AB所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式4-2．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB=36，BC=14，MN=30，则该平底烧瓶的高度为（ ）
A．20B．40C．60D．80
参考答案
考点一： 垂径定理的概念
例1．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．
【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
变式1-1．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
【答案】D
【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可．
【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；
C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确．
故选D．
变式1-2．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】根据圆周角定理、垂径定理及确定圆的条件，结合题意进行判断即可．
【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，故②正确；
平分弦的直径垂直于弦，这个弦需要排除直径，故③错误;
不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误；
综上可得正确的是①②
故选 A
考点二：垂径定理的推论
例2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则CD的长为（ ）
A．26寸B．13寸C．24寸D．12寸
【答案】A
【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10可求出AE的长，再设出设圆O的半径OA的长为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥CD，AB=10，
∴AE=BE=5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2−x−12=52，化简得：x2−x2+2x−1=25，
即2x=26，
解得：x=13，
∴CD=26（寸）．
故选：A．
变式2-1．如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=CBB．OC=CNC．AN=BN D．AM=BM
【答案】B
【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知MN为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据MN为⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C，则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理．
所以MN是AB的垂直平分线，
因而AC=CB，AN=BN，AM=BM，都是正确的．
所以选项B、OC=CN不一定成立．
故选：B．
变式2-2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是要（ ）
A．CE=EDB．BC=BDC．OE=BED．OA=OB
【答案】C
【分析】
本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于AB⊥CD，根据垂径定理有CE=ED，BC=BD，因为OA、OB都为圆的半径，可得OA=OB，不能得出OE=BE．
【详解】解：∵AB⊥CD，
∴CE=ED，BC=BD，所以A选项、B选项正确，不符合题意；
只有当CD垂直平分OB时，OE=BE，所以C选项符合题意；
∵OA、OB都为圆的半径，
∴OA=OB，所以D选项正确，不符合题意．
故选：C．
考点三：利用垂径定理求值
例3．月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为1.8米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.3米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（ ）
A．1.8米B．1.6米C．1.5米D．1.4米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点O作ON⊥AB于点N，过点C作CM⊥ON于点M，由垂径定理得AN=NB=12AB=0.9，证明四边形CDNM是矩形，得到MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米，设该圆的半径为r米，然后根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：如图，过点O作ON⊥AB于点N，过点C作CM⊥ON于点M，
则AN=NB=12AB=0.9米，∠OND=∠CMN=90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDN=90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴ MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米，
设该圆的半径为r米，
根据题意得：ON2=r2−0.92OM2=r2−1.22OM=ON−0.3，
解得：ON=1.2r=1.5OM=0.9，
即此月亮门的半径为1.5米，
故选：C．
变式3-1．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BD最近的距离是（ ）
A．42 cmB．9−42cmC．42−2cmD．2 cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，易得四边形ABDC、四边形ABEF均为矩形，由垂径定理可得AF=7cm，在Rt△AOF中，由勾股定理可解得OF的长度，进而可计算OE的长度，然后计算圆盘离桌面BD最近的距离即可．
【详解】解：连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD=7 cm，
∴四边形ABDC为平行四边形，
又∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∴AC∥BD，∠CAB=∠ABD=90°，AC=BD=14 cm，
∵OE⊥BD，
∴OE⊥AC，
∴AF=CF=12AC=7cm，
由∵OA=OG=r=9cm，
∴在Rt△AOF中，OF=OA2−AF2=92−72=42cm，
∵OE⊥BD，
∴∠BEF=∠CAB=∠ABD=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴FE=AB=7cm，
∴OE=OF+FE=42+7cm，
∴GE=OE−OG=42+7−9=42−2cm，
即圆盘离桌面BD最近的距离是42−2cm．
故选：C．
变式3-2．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，如果AB=CD=8，那么OE的长为（ ）
A．32B．3C．4D．42
【答案】A
【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接OC,OA, 过O作OH⊥AB于H, 过O作OQ⊥CD于Q, 再利用垂径定理求解OQ=OH=3, 再证明四边形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接OC,OA, 过O作OH⊥AB于H, 过O作OQ⊥CD于Q,
∵AB=CD=8,
∴CQ=12CD=4,AH=12AB=4,
∵OC=OA=5,
∴OQ=OC2−CQ2=3,OH=OA2−AH2=3,
∴OQ=OH,
∴AB⊥CD,OQ⊥CD,OH⊥AB,
∴四边形OQEH是正方形，
∴OH=EH=3,
∴OE=32+32=32.
故选A．
考点四：垂径定理的实际应用
例4．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）

A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=x，由勾股定理得到x2+22=(3.5−x)2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN=3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CM=12CD=12×3=1.5(cm)，BN=12AB=12×4=2(cm)，
设ON=xcm，
∴OM=MN−ON=3.5−xcm，
∵OM2+MC2=OC2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MC2=ON2+BN2，
∴(3.5−x)2+1.52=x2+22，
∴x=1.5，
∴ON=1.5cm，
∴OB=ON2+MB2=1.52+22=2.5cm，
∴纸杯的直径为2.5×2=5cm．
故选：B．
变式4-1．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和AB所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作OC⊥AB交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，然后利用勾股定理求出CO，最终可求得CD的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．
【详解】解：如图，作OC⊥AB交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA
在⊙O中，
∵OC⊥AB
∴AC=BC=12AB=15
∵AO=17
∴CO=OA2−AC2=172−152=8
∴CD=OD−CO=17−8=9
则种植区的最大深度为9
故选：D．
变式4-2．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB=36，BC=14，MN=30，则该平底烧瓶的高度为（ ）
A．20B．40C．60D．80
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接OB，OM，过点O作EF⊥BC，交BC于点E，交MN于点F，，利用垂径定理，得到BE=7，MF=15，再利用勾股定理，OE=OB2−BE2=24，OF=OM2−MF2=20，即可求出平底烧瓶的高度．
【详解】如图，连接OB，OM，过点O作EF⊥BC，交BC于点E，交MN于点F，
∵BC∥MN，
∴EF⊥MN，
且易知EF平分BC，MN，
∵BC=14，MN=30，
∴BE=7，MF=15，
在Rt△BEO和Rt△MOF中，OB=OM=25，
由勾股定理得OE=OB2−BE2=24，OF=OM2−MF2=20，
∴该烧瓶的高度为AB＋OE＋OF=36＋24＋20=80．
故选：D