初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用一课一练

这是一份初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用一课一练，共32页。试卷主要包含了学科实践等内容，欢迎下载使用。
例1．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（ ）
A．y=125x2+58xB．y=−125x2+58x
C．y=−58x2−125xD．y=125x2+58x+16
变式1-1．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC．已知BC=6米，AB=2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为1,3，则抛物线的表达式为（ ）
A．y=−18x2+258B．y=18x2+258
C．y=135x2+10635D．y=−135x2+10635
变式1-2．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD达12米，那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
考点二：抛球问题
例2．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
变式2-1．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系ℎ=at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为−5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2-2．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．该函数的图象与y轴交于点A0,1.8，顶点为B4,3.4，下列说法错误的是（ ）
A．a=−0.1
B．该铅球飞行到最高点时铅球离y轴的水平距离是4m
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是3.4m
D．此次训练，该铅球落地点离y轴的距离小于9m
考点三：销售问题
例3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=15−x200−5xB．y=15−x200+5x
C．y=x−5200+5xD．y=10−x200+5x
变式3-1．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
变式3-2．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系y=−x+120．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点四：喷水问题
例4．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点3m，则喷头高应调整为 m．
变式4-1．长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米．
变式4-2．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度ym与水平距离xm之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA=2m．若BD=6m，OD=2m，则OC的长为（ ）
A．4mB．5mC．6−2mD．6+2m
考点五：增长率问题
例5．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y=80001+xB．y=80001+x2
C．y=80001+x2D．y=80001+2x
变式5-1．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．1.2B．12%C．20%D．−22%
变式5-2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y=101+x3B．y=10+101+x+101+x2
C．y=10+10x+x2D．y=101+x2
考点六：面积问题
例6．如图，将一根长30m的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A．y=−x2+30xB．y=−x2+15x
C．y=x2−30xD．y=−2x2+15
变式5-1．如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD,AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（ ）

A．4m2B．6m2C．8m2D．12m2
变式5-2．如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；
③菜园ABCD面积的最大值为200m2．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
考点七、图形运动问题
例7．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t，△PBQ的面积为S.
(1)求S随t变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当S为20cm2时，t的值时多少？
(3)当t取何值时，面积S最大，最大是多少？
变式7-1．如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
考点八：其他问题
例8．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：ℎ=vt−12gt2，其中ℎm表示上升高度，vm/s表示抛出时的速度，gg≈10m/s表示重力加速度，ts表示抛出后的时间．如果一物体以35m/s的速度从地面竖直向上抛出，经过as后它在离地面50m高的地方，则a的值为（ ）
A．2B．3C．2或3D．2或5
变式8-1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为6m/s，经过t秒时球的高度为ℎ米，ℎ和t满足公式：ℎ=v0t−12gt2 (v0表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s2)，则球离地面的最大高度是（ ）
A．1.8mB．1mC．0.6mD．0.5m
变式8-2．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差ℎ=0.45m，与锅的水平距离L=0.3m，锅的半径R=0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示：ℎ=12gt2，g=10m/s2，水平移动距离s=v0t）（ ）
A．2.5m/sB．3m/sC．3.5m/sD．5m/s
考点九：二次函数应用综合大题
例9．学科实践
驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．

研究步骤：
①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距AB为5米，他们的手到地面的高度AC=BD=1米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米；
②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米；
③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段AB所在直线为x轴，线段AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式；
(2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶；
(3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围．
变式9-1．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA,OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对称．OC=4分米，点A到x轴的距离是2分米，A,B两点之间的距离是12分米．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x取值范围）；
(2)如图③，分别延长AO,BO交拋物线于点E,F，请直接写出E,F两点间距离的值；
(3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将拋物线向左平移m(m>0)个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=12S1，求m的值．
变式9-2．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段AB是一段直滑道，点A在y轴上，且OA=1．滑道B−C−D为抛物线：y=14x2+bx+c的一部分，在点C(4,2)处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，BG⊥x轴于点G．滑道B−C−D与滑道D−E−F可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点F(12,0)．
(1)求抛物线B−C−D和D−E−F的函数表达式；
(2)当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
(3)点M为B−C上的一点，求点M到BG和到x轴的距离之和（图中MH+MN）的最大值及此时点M的坐标．
参考答案
考点一： 二次函数图像的平移相关问题
例1．有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（ ）
A．y=125x2+58xB．y=−125x2+58x
C．y=−58x2−125xD．y=125x2+58x+16
【答案】B
【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为20,16，经过原点，
∴设y=ax−202+16．
∵抛物线经过点0,0，
∴400a+16=0，解得a=−125，
∴此抛物线的表达式为y=−125x−202+16，即y=−125x2+58x．
故选B．
变式1-1．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC．已知BC=6米，AB=2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为1,3，则抛物线的表达式为（ ）
A．y=−18x2+258B．y=18x2+258
C．y=135x2+10635D．y=−135x2+10635
【答案】A
【详解】∵BC=6米，AB=2米，
∴OC=3米，CD=AB=2米，
∴D3,2
∴设抛物线解析式为y=ax2+c
∴将D3,2，M1,3代入得
9a+c=2a+c=3
解得a=−18c=258
∴y=−18x2+258．
故选：A．
变式1-2．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD达12米，那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
【答案】A
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为y=ax2，
由题意可得B2,−1，代入函数关系式，得4a=1，解得a=−14，
∴抛物线的解析式为y=−14x2，
∵CD=12，
∴可设D6,t，代入抛物线的解析式，得t=−14×62=−9，
∴D6,−9，
∴OF=9，
∴EF=OF−OE=9−1=8，
∴最低水位CD与最高水位AB之间的距离为8米．
故选：A．
考点二：抛球问题
例2．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
【答案】8
【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 y=ax−3²+2．
将点(0，1.28)代入y=a(x−3)2+2，得 a=−225．
即抛物线解析式为y=−225(x−3)2+2，
当 y=−225x−32+2=0，化简，得 x−3²=25，
解得： x1=8，x2=−2(舍去)．
故答案为：8．
变式2-1．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在4s时落地，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系ℎ=at2+20t（a为常数，a≠0）．有下列结论：
①a值为−5；
②小球的飞行高度最高可达到21m；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】解：由题意得0=a×42+20×4，解得a=−5，①结论正确；
函数关系ℎ=−5t2+20t=−5t−22+20，
∵−59，
∴该铅球落地点离y轴的距离大于9m，D错误，
综上所述，说法错误的是D，
故选：D．
考点三：销售问题
例3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=15−x200−5xB．y=15−x200+5x
C．y=x−5200+5xD．y=10−x200+5x
【答案】D
【详解】解：由题意得：y=15−5−x200+5x=10−x200+5x，
故选：D．
变式3-1．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【详解】设降价x元，则售价为60−x元，每件的盈利60−x−40=20−x元，每天可售出300+20x件，
①当降价为3元时，每星期可卖300+20x=360件；
正确；
②根据题意，得300+20x20−x=6120，
整理，得x2−5x+6=0，
解得x1=2,x2=3，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得y=300+20x20−x=−20x+100x+6000
=−20x−522+6125，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
变式3-2．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系y=−x+120．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】解：由题意可知x≥60x−6060≤45%，解得：60≤x≤87，
∴销售单价不可能是90元，故①不正确；
利润W与销售价的函数关系式：W=x−60−x+120
=−x2+180x−7200，
=−x−902+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x