2025版高考数学全程一轮复习学案第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs (α－β)＝________；
(2)公式C(α＋β)：cs (α＋β)＝________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝________；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝________；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝________；
(2)公式C2α：cs 2α＝________＝________＝________；
(3)公式T2α：tan 2α＝________．
3．辅助角公式：a sin x＋b cs x＝________，其中sin φ＝ba2+b2，cs φ＝aa2+b2.
【常用结论】
1．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)．
(2)tan α·tan β＝1－tanα+tanβtanα+β＝tanα-tanβtanα-β－1.
2．常用拆角、拼角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α+β2-α-β2；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；π4＋α＝π2－(π4－α).
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)公式tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(3)32sin α＋12cs α＝sin (α＋π3)．( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
2．(教材改编)sin 164°·sin 224°＋sin 254°·sin 314°＝( )
A．32 B．12 C．－32 D．－12
3．(教材改编)化简：1+cs4的结果是( )
A．sin 2 B．－cs 2
C．2cs 2 D．－2cs 2
4．(易错)若cs 2α＝－45，且α∈[π2，π]，则cs α＝( )
A．31010 B．1010 C．35 D．－1010
5．(易错)已知α，β为锐角，且cs α＝110，cs β＝15，则α＋β＝________．
第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
必备知识
1．（1）cs αcs β＋sin αsin β
（2）cs αcs β－sin αsin β
（3）sin αcs β－cs αsin β
（4）sin αcs β＋cs αsin β
（5）tanα-tanβ1+tanα·tanβ
（6）tanα+tanβ1-tanα·tanβ
2．（1）2sin αcs α
（2）2cs2α－1 1－2sin2α cs2α－sin2α
（3）2tanα1-tan2α
3.a2+b2sin（x＋φ）
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：原式＝sin 16°·(－cs 46°)＋(－cs 16°)·(－sin 46°)＝sin 46°·cs 16°－cs 46°sin 16°＝sin (46°－16°)＝sin 30°＝12.
故选B.
答案：B
3．解析：1+cs4＝1+2cs22-1＝2|cs2|＝－2cs 2.故选D.
答案：D
4．解析：∵cs 2α＝2cs2α－1＝－45，且α∈[π2，π]，
∴csα＝－1010或cs α＝1010(舍去)．故选D.
答案：D
5．解析：因为α，β为锐角，且cs α＝110，cs β＝15，所以sin α＝310，sin β＝25.
由α，β为锐角，可得0<α＋β<π，cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝－22，故α＋β＝3π4.
答案：3π4