2025版高考数学全程一轮复习学案第四章三角函数与解三角形第七节正弦定理余弦定理

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1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形的面积公式
(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C.
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[常用结论]
1．三角形的内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：A+B2＝π2-C2.
2．三角形中的三角函数关系：在△ABC中，
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cs (A＋B)＝－cs C；
(3)sin A+B2＝cs C2；
(4)cs A+B2＝sin C2.
3．角平分线定理：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则BDCD＝ABAC.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．( )
2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
3．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．
4．(易错)在△ABC中，B＝30°，b＝2，c＝2，则A＝( )
A．15° B．45°
C．15°或105° D．45°或135°
5．(易错)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状为________．
第七节 正弦定理、余弦定理
必备知识
1. bsinB csinC b2＋c2－2bc cs A a2＋c2－2ac cs B
a2＋b2－2ab cs C （1）2R sin B 2R sin C （2）b2R c2R
（3）sin A∶sin B∶sin C b2+c2-a22bc a2+c2-b22ac a2+b2-c22ab
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cs ∠BAC＝b2+c2-a22bc＝9+25-4930＝－12，由A∈(0，π)，得A＝2π3，即∠BAC＝2π3.故选C.
答案：C
3．解析：在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c.
由题意及余弦定理得cs A＝b2+c2-a22bc＝c2+16-122×4×c＝12，解得c＝2.
所以S＝12bc sin A＝12×4×2×sin 60°＝23.
答案：23
4．解析：由正弦定理得sin C＝csinBb＝2sin30°2＝22.∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°，当C＝45°时，A＝105°；当C＝135°时，A＝15°.故选C.
答案：C
5．解析：在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C.
可得2A＝2C或2A＋2C＝π，
所以A＝C或A＋C＝π2.
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形定理
正弦定理 任何三角形都适用
余弦定理
内容
asinA＝________＝________＝2R
a2＝________；
b2＝________；
c2＝________
变形
(1)a＝2R sin A，b＝ ，
c＝ ．边化角
(2)sin A＝a2R，sin B＝ ，
sin C＝ ；角化边
(3)a∶b∶c＝________．
(4)a sin B＝b sin A，
b sin C＝c sin B，
a sin C＝c sin A
cs A＝________；
cs B＝________；
cs C＝________
根据符号可以判断角是锐角还是钝角