2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积及其应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积及其应用，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.两向量的夹角
已知两个________向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)(其中夹角为0时，两向量同向共线，夹角为π时两向量反向共线)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是π2，我们说a与b垂直，记作________．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________．
3．投影向量
设a、b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b________，A1B1叫做向量a在向量b上的________，即A1B1＝________．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝________．
5．平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立)．
(2)若两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是一个向量．( )
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝2，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝( )
A．45° B．135°
C．－45° D．30°
3．(教材改编)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．
4．(易错)已知在△ABC中，BA·AC>0，则△ABC的形状是________三角形．
5．(易错)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
第三节 平面向量的数量积及其应用
必备知识
1．非零 a⊥b
2．|a||b|cs θ |a||b|cs θ
3．投影 投影向量 |a|cs θ·e
4．a·c＋b·c
5．x1x2＋y1y2 a2 x12+y12 a·bab x1x2+y1y2x12+y12 x22+y22 x1x2＋y1y2＝0
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：∵cs θ＝a·bab＝55×2＝22，∴θ＝45°.故选A.
答案：A
3．解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)，
故|a＋b|＝10.
答案：10
4．解析：由BA·AC>0，得角A的补角为锐角，所以角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
答案：钝角
5．解析：由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)>0且x1≠-4-x，解得x>0且x≠2，即x的取值范围为(0，2)∪2，+∞．
答案：(0，2)∪2，+∞几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝________
模
|a|＝________
|a|＝________
夹角
cs θ＝________
cs θ＝________
a⊥b的充要条件
a·b＝0
________
|a·b|与|a||b|的关系
a·b≤ab
x1x2+y1y2≤x12+y12 x22+y22