2025版高考数学全程一轮复习学案第七章立体几何与空间向量第五节空间向量及其应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第七章立体几何与空间向量第五节空间向量及其应用，共5页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
1.向量共线与向量共面定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使________________．
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________________．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝________________．
4．空间向量的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
5.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP＝λa.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
6．空间位置关系的向量表示
【常用结论】
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( )
(2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.( )
(3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA＝0.( )
2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．
4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )
A．9 B．－9
C．－3 D．3
5．(易错)在正方体ABCD - A1B1C1D1中，A1E＝14A1C1，AE＝xAA1＋y(AB+AD)，则x＝________，y＝________．
第五节 空间向量及其应用
必备知识
1．a＝λb p＝xa＋yb
2．p＝xa＋yb＋zc
3．(1)①∠AOB (2)|a||b|cs 〈a，b〉
4．a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
6．(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
夯实基础
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除A；
B：因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除B；
D：因为a＋2b＝32(a＋b)－12(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，排除D；
C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C．
答案：C
3．解析：∵a∥b，∴-42＝2-1＝x2，∴x＝－4.
答案：－4
4．解析：∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
∴7=2m-n，6=m+2n，λ=-3m+3n，解得λ＝－9.
答案：B
5．解析：由向量加法的三角形法则得AE＝AA1＋A1E，由平行四边形法则得：A1C1＝A1B1 +A1D1．
∵AB＝A1B1，AD＝A1D1，A1E＝14A1C1，
∴AE＝AA1＋A1E＝AA1 +14A1C1＝AA1+14 (A1B1+14A1D1)＝AA1＋14(AB+AD)，∴x＝1，y＝14.
答案：1 14向量表示
坐标表示
数量积
a·b
____________________
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
____________________
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
____________________
模
a
a12+a22+a32
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs 〈a，b〉＝a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)
l1∥l2
u1∥u2⇔∃λ∈R，使得____________
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔____________
直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)
l∥α(l⊄α)
u⊥n⇔u·n＝0⇔______________
l⊥α
u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔________
n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分别是平面α，β的法向量
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2⇔________
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔____________