2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第六节双曲线

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第八章解析几何第六节双曲线，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
【常用结论】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( )
(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )
(4)关于x，y的方程x2m-y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是( )
A．y＝±12x B．y＝±2x
C．y＝±2x D．y＝±22x
3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
4．(易错)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．
第六节 双曲线
必备知识
1．差的绝对值 焦点 焦距
2．坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) y＝±bax y＝±abx (1，＋∞) 2a 2b a b a2＋b2
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由题意，x24-y28＝1的渐近线方程为y＝± 84x＝±2x.故选C.
答案：C
3．解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求双曲线的方程为x215-y215＝1.
答案：x215-y215＝1
4．解析：设双曲线x2－y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
则||PF1|－|PF2||＝2，
可设|PF2|＝4，
则|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝17>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
答案：6
5．解析：由题意知ba＝tan π3＝3或ab＝tan π3＝3，
当ba＝3时，e＝ 1+ba2＝1+32＝2；
当ab＝3时，e＝ 1+ba2＝ 1+332＝233.
答案：2或233标准方程
x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
简单几何性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
____________
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
____________
____________
离心率
e＝ca，e∈____________
离心率决定双曲线开口的大小，e越大开口越大
实虚轴
实轴长|A1A2|＝________；虚轴长|B1B2|＝__________；实半轴长__________，虚半轴长__________
a，b，c的关系
c2＝________(c>a>0，c>b>0)