2025版高考数学全程一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布列第三节二项式定理

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布列第三节二项式定理，共3页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
1.二项式定理
字母a，b是一种“符号”，实际上可以是数和式

(1)二项式定理：(a＋b)n＝____________________________，n∈N*.
(2)通项：________________，它表示展开式的第k＋1项．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．
只与各项的项数有关，而与a，b的值无关
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于________．
【常用结论】
1．若二项展开式的通项为Tk＋1＝g(k)·xh(k)(k＝0，1，2，…，n)，g(k)≠0，则：
(1)h(k)＝0⇔Tk＋1是常数项；
(2)h(k)是非负整数⇔Tk＋1是整式项；
(3)h(k)是负整数⇔Tk＋1是分式项；
(4)h(k)是整数⇔Tk＋1是有理项．
2．两个常用公式
1Cn0+Cn1+Cn2 +…＋Cnn＝2n.
2Cn0+Cn2+Cn4＋…＝Cn1+Cn3 +Cn5＋…＝2n－1.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中的第k项是Cnkan－kbk.( )
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项．( )
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)在(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数相同．( )
2．(教材改编)在(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
3．(教材改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
4．(易错)若(x－12)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________．
5．(易错)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________．(用数字作答)
第三节 二项式定理
必备知识
1．（1）Cn0 an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn bn （2）Tk＋1＝Cnkan－kbk
2．（1）相等 （2）Cnn2 Cnn-12 Cnn+12 （3）2n
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：Tk＋1＝C5k(2x)k＝C5k2kxk，当k＝2时，x2的系数为C52·22＝40.故选B.
答案：B
3．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.故选B.
答案：B
4．解析：(x－12)n的展开式中第3项的二项式系数为Cn2，
∴Cn2＝15，解得n＝6，∴(x－12)n＝(x－12)6，令x＝1，得到展开式中所有项系数之和为(12)6＝164.
答案：164
5．解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是T4＝C63·(2x)3·(－1)3＝－160x3.
∴系数为－160.
答案：－160