山东省威海市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列说法错误的是（ ）
A. 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题关键．
【详解】解：A. 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
C. 有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；
故选C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式加减运算，将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，逐项求解，即可求解；掌握二次根式加减法则是解题的关键．
【详解】解：A.2与3不能合并，结论错误，故不符合题意；
B.与3不能合并，结论错误，故不符合题意；
C.，结论正确，故符合题意；
D.，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
3. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：
故选A．
4. 下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A. 两个菱形B. 两个有角的直角三角形
C. 两个正六边形D. 两个正方形
【答案】A
【解析】
【分析】题主要考查相似形．根据相似形的定义对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A. 两个菱形得各边成比例，但角不一定相等，不一定相似，符合题意；
B. 根据有两个角分别相等的两个三角形是相似三角形可知两个有角的直角三角形是相似性，不符合题意；
C. 两个正六边形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意；
D. 两个正方形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意；
故选A．
5. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案．
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故选：B．
6. 如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小时，的值最小，
由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
7. 小丽家承包的土地前年的粮食产量是，前年、去年、今年的总产量是．设小丽家去年、今年平均每年粮食产量的增长率为，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得去年的产量，今年的参量，由等量关系式：前年的产量去年的产量今年的产量，列方程，即可求解；找出等量关系式，掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
去年的产量：，
今年的产量：，
可列方程为；
故选：D．
8. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得，，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
与位似，
，
；
故选：C．
9. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点．作直线分别交AB，于点E，K，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④若，．正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的作图，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据作图可得BD是的平分线，垂直平分BD，进而得到，即可判断①；然后求出，进而得到判断②；然后证明，，即可判断③，然后根据得到，即可判断④．
【详解】解：由作图可得：BD是的平分线，垂直平分BD，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
设，则，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），故④错误；
综上所述正确的有①②③，
故选B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为0,2，点是边上的动点，在运动的过程中始终保持且．若点从点运动到点，则点的运动路线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，作轴于点，连接，证明，得出，，进而推出，连接，并延长，求出点在与成的夹角的射线上运动，结合当点在点时，点在点，当点在点时，点在点，得出点的运动路线为，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作轴于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
连接，并延长，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点在与成的夹角的射线上运动，
∵当点在点时，点在点，当点在点时，点在点，
∴点的运动路线为，
∵点坐标为0,2，
∴，
∴，
∴当点在点时，点在点，此时，
∴的运动路线长为，
故选：D．
二、填空题
11. 若式子成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意，得
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零．
12. 解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．先设，则方程即可变形为，解方程即可求得y，然后根据取舍根即可．
【详解】解：设，则原方程可化为，
解得，．
∵，
∴，
故答案为：．
13. 教学楼旁边有一棵树，学习了相似三角形后，数学综合与实践小组想利用树影测量树高．课外活动时，他们在阳光下测得一根长为的竹竿的影长是．当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在倾斜角为斜坡上．他们测得落在地面上的影长，落在斜坡上的影长，则树的高度_____．（）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，作于，作于，则四边形是矩形，得到，，由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，从而得出，再求出的长，结合题意即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，作于，
，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵课外活动时，他们在阳光下测得一根长为的竹竿的影长是，
∴，
∴树的高度
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，点E是边中点，，垂足为F，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
先根据矩形的性质得到，即可得到，然后根据可以得到，进而得到结论．
【详解】解：∵是矩形，
∴，，
又∵点E是边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即；
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知，是方程的两个根，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
故答案为：．
16. 如果，在中，，，，点D为边中点，点F是上一点．连接并延长至点G，使得，连接．过点D作交AB于点E，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆和圆周角定理，解直角三角形，先证明，得到，然后推导四点共圆，进而得到，再根据正切计算即可解题．
【详解】解：连接EG，
∵点D为边中点，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴四点共圆，
∴，
∴，即，
∴．
三、解答题
17. 计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（3）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案；
（4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 用合适的方法解方程．
（1）
（2）
（3）（两种方法）
【答案】（1），
（2），
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）运用配方法解一元二次方程可得；
（2）运用公式法解一元二次方程可得；
（3）运用因式分解法和直接开平方法求解可得．
【小问1详解】
解：
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
解得：，；
【小问3详解】
解：
方法一：
即
∴或，
解得或；
方法二：，
∴或，
解得或．
19. 折纸是一项有趣的数学实验活动，通过折纸可以折出特殊角，特殊图形，也可以将线段等分．请你通过折出一个菱形．要求∶为菱形的一个内角，且菱形的一个顶点在边上．请画出折痕及菱形，并说明四边形是菱形的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形的折叠，菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
根据菱形的对角线平分一组对角，得到沿折叠，然后根据菱形的对角线互相垂直平分得到沿DE折叠，即可得到菱形，然后利用四条边相等的四边形是菱形证明即可．
【详解】①沿折叠，使得边与AB边重合；
②沿DE折叠，使得点与点重合，
则四边形是菱形．
证明：由折叠可得，DE垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20. 将一条长为铁丝剪成两段(无剩余)，并把每一段铁丝做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？
（2）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？
（3）正方形的面积之和可能等于吗？说明理由．
【答案】（1）和
（2）和
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，此题等量关系是：两个正方形的边长之和一定．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．设一段铁丝的长度为，根据“两个正方形的面积之和等于”列方程，解方程即可求解；
（2）根据等量关系建立方程，解方程即可；
（3）根据等量关系建立方程，利用根的判别式判断方程根跟的情况即可；
【小问1详解】
解：设一段铁丝的长度为，
则，
解得，，
答：应该把铁丝剪为和两段．
【小问2详解】
解：设一段铁丝的长度为，
则，
解得：，
答应该把铁丝剪为和两段．
【小问3详解】
解：设一段铁丝的长度为，
则，
整理得，
，
方程无解，
不能剪成两段围成的正方形的面积和为．
21. 如图，已知四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接．过点E作交延长线于点G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）若四边形是正方形，则需要满足 ．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析
（2）四边形是矩形，理由见解析
（3）矩形且
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和正方形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）利用证明，即可得到对角线互相平分，证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，则，进而得到，即可得到矩形；
（3）根据对角线互相垂直的矩形是正方形解题即可．
【小问1详解】
解：四边形平行四边形，理由为：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，理由为：
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
解：若四边形是正方形，则需要满足是矩形且，
∵是矩形，
∴，
∵，
∴由（2）知，四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
22. 已知，是关于的方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求值．
【答案】（1），且
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个实数根结合一元二次方程的定义得出，，计算即可得出答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，
解得：，且；
【小问2详解】
解：∵，是关于的方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴．
23. 如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，证明得出，再由等边对等角得出，由平行线的性质结合三角形内角和定理得出，即可得出答案；
（2）在上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得解．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，
如图，在上截取，连接，
，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴、为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
．
24. 如图，，，．
（1）如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
（2）如图2，若点E落在边上，求证：；
（3）如图3，若点H，I，J分别为，AB，AD中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3），与的夹角度数为
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可；
（2）根据可得，即可得到，然后根据勾股定理得到即可解题；
（3）设，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可求出，，然后利用四边形的内角和解题即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴；
小问3详解】
解：连接，设直线和交于点K，
∴，
∴，
设，，则，，
∵点H，I，J分别为，AB，AD中点，
∴，，，
∴，，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．