广东省汕头市澄海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在实数，，，中，无理数的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别．解题的关键是掌握：①理解无理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；②无限不循环小数是无理数．据此判断即可．也考查算术平方根和立方根．
【详解】解：是整数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
，是无理数，符合题意；
，是整数，属于有理数，不符合题意，
在实数，，，中，无理数的个数是．
故选：B．
2. 下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. -2与B. -2与C. 2与D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质和立方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A. -2与，互为相反数，符合题意；
B. -2与，不互为相反数，不符合题意；
C. 2与，不互为相反数，不符合题意；
D. 与，不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、二次根式的性质、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3. 如图，直线与相交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角、邻补角，解题的关键是根据邻补角的定义列方程得到，再根据对顶角相等即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：C．
4. 若点在 y 轴上，则点，的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标的特征，记住坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键．
根据y轴上点的横坐标为0求出a，再求出点P的坐标即可解答．
【详解】解：∵点在 y 轴上，
，
点，
故选：B．
5. 以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知点的坐标判断其所在象限．掌握解二元一次方程组的方法和各象限内点的坐标特点是解题关键．
求出该二元一次方程组的解，再根据各象限内点的坐标特点选择即可．
【详解】解：，
由①得，③，
把③代入②得，，
解得，
把代入①，得，
原方程组的解为，
点在第四象限．
故选：D．
6. 不等式正整数解有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据解不等式步骤解题即可；
【详解】解：，
，
故正整数的解为：，，共两个
故选：A
7. 已知，，若，则x与y的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比较大小．熟练掌握作差比较法，是解决问题的关键．
利用求差法判定两式的大小，将x，y的表达式相减，结合，根据结果的正负即可做出判断．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为，，例如1，2对应的密文是，4．当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A. ，1B. 1，1C. 1，3D. 3，1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据接收方收到的密文是1，7可得，求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，解得，
∴解密得到的明文是3，1．
故选：D
9. 如图，直线AB//CD//EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A. ∠α+∠β-∠γ=90°B. ∠α+∠γ-∠β=180°
C. ∠γ+∠β-∠α=180°D. ∠α+∠β+∠γ=180°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可．
详解】，
，
，
，
，
，
故答案选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补解答．
10. 如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180°−．其中正确的有（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解．
【详解】解：∵,
∴，
故答案为：．
12. 已知点在平面直角坐标系中第一象限内，若点P到x轴的距离为3，则点P到y轴的距离为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，点到坐标轴的距离．
根据点P在第一象限，且到x轴的距离为3，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标，进而即可解答．
【详解】解：∵点在第一象限，且到x轴的距离为3，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为，到y轴的距离为3．
故答案为：3
13. 如图，在中，，，，则的度数为__________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握三角形的内角和是、两直线平行同位角相等是解决本题的关键．
先利用平行线的性质求出．再利用三角形的内角和定理求出，进而求解；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：
14. 已知关于的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集、解一元一次方程，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于的方程．
由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于的一元一次方程，解此方程即可得出结论．
【详解】解：解不等式得，，
由数轴可得该不等式的解集为：，
，
解之得，．
故答案为：．
15. 某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中a的值是________
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率频数总数．
根据第二组的频数为10，频率为，求出数据总数，从而求出a的值．
【详解】解：∵第二组频数为10，频率为，
∴该班女生的总人数为（人），
（人）．
故答案为：5．
16. 如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长宽7，据此可以列出方程组求解．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y．
由图可知，
解得．
所以长方形的长为30，宽为21，
∴长方形的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据一元一次不等式组解集确定的原则求出其公共解集即可．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
19. 完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ （ ），
∴（ ）．
【答案】，两直线平行，内错角相等；，CD，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明：∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，CD，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中标出平面直角坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）4.5
【解析】
【分析】(1)根据点B的坐标，确定原点的位置，再建立直角坐标系；
(2)根据点C的坐标，确定C点的位置；
(3)△ABC过三个顶点的长方形的面积减去三个三角形的面积.
【详解】(1)如图，
(2)如图，
(3)S△ABC=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5
21. 若关于x、y 的二元一次方程组
（1）当时，求的值；
（2）若方程组的解与满足条件，求的值.
【答案】（1）-；（2）3
【解析】
【分析】(1)把y=k代入方程组，然后用加减消元法进行求解即可；
(2)由题意可得方程组，解方程组求得x、y的值后代入方程即可求得k的值.
【详解】(1)由题意，把y=k代入方程组，得
，
①＋② 得：3x=-3，
解得：x=-1，
把x=-1代入②，得-1+2k=-2，
解得：k=-；
(2)由题意可得方程组，
①－② 得：y=-4，
把y=-4代入②得，x－4=2，
解得：x=6，
把x=6，y=-4代入方程得
12－4=3k－1，
解得：k=3.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，关键是理解清楚题意，熟练运用代入消元法或加减消元法，解出k的数值．
22. 为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？
【答案】该商场商品打 9 折
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，折后价与原价和折率的关系，是解题的关键．
设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值；再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值即可．
【详解】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，
由题意得：，
解得：，
设做活动时，商场商品打m折，
由题意得：，
解得：．
答：做活动时，该商场商品打9折．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23. 阅读理解，并解决问题：
若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①．
（1）填空： ， ， ；
（2）利用题中不等式①，求出满足的所有解．
【答案】（1）4，，
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的解一元一次不等式组，
根据新定义即可求得对应的答案；
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．
【小问1详解】
解：，，，
故答案为：4，，；
【小问2详解】
解：依题意，得，
解得，
，，
是整数，即是整数，
或，
解得或．
的所有解为或．
24. 如图，已知点、在线段AD的异侧，连接AB、CD，点、分别是线段AB、CD上的点，连接CE、，分别与AD交于点、，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
（1）由对顶角相等可得，从而可得，则可判定；
（2）由平角的定义可得，从而可求得，则可判定，则有，从而可求证；
（3）由，，，得，从而根据三角形内角和定理得，由（）得，则有，再把代入，从而可求的度数．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是、，且、满足方程组，为轴正半轴上一点，且．

（1）求、、三点的坐标；
（2）是否存在点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若是的中点，是上一点，，连结、，与交于点，连接，求四边形的面积．
【答案】（1），，
（2）存在，或
（3）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积和解二元一次方程组，
（1）解出方程组即可得到点，的坐标，利用，求出点的坐标；
（2）利用，求出点的坐标即可；
（3）根据点是的中点得，根据得，设，，，得，求解后代入计算即可；解题的关键是根据三角形之间面积的关系建立二元一次方程组．
【小问1详解】
解：方程组，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵为轴正半轴上一点，且，
∴，
解得：，
∴；
【小问2详解】
存在．
∵，使，
∴，
解得：，
∴当点的坐标为或时，；
【小问3详解】
∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
设，，，
∴，
解得：，
∴．
∴四边形的面积为．
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
b