吉林省长春市净月高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份吉林省长春市净月高新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 要使分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键．
根据分式有意义的条件为分母不等于零列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得：．
故选：C．
2. 随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
3. 若把分式中的x、y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A. 缩小2倍B. 不变C. 扩大2倍D. 扩大4倍
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x、y都扩大2倍后为，
∴把分式中的x、y都扩大2倍，分式的值不变，
故选：B．
4. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织一分钟跳绳比赛活动．体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 144，141B. 142.5，5C. 144.5，141D. 142.5，141
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题关键．将这10名参赛学生的成绩按从小到大排列，得出中位数，再根据出现次数最多的成绩，得出众数即可．
【详解】解：将这10名参赛学生的成绩按从小到大排列为：141、141、141、141、141、144、144、145、146、146，
中位数为，
出现了5次，次数最多，
众数为141，
故选：D．
5. 点在第二象限内，且到轴轴的距离分别为和，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标．熟知点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．本题先得到的横纵坐标可能的值，进而根据点在第二象限的符号特点可得具体坐标．
【详解】解：设，
根据题意得：，，
∵点在第二象限内，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
6. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
矩形周长为，
，
，
，
的周长，
故选：A．
7. 如图，已知线段，分别以，为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点，，连接，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 平分B. 平分C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．根据作图判断出四边形是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【详解】解：由作图知，
四边形是菱形，
平分、平分、，
不能判断，
故选：D
8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲x1,y1、乙x2,y2、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
、乙x2,y2、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是甲学校，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 若分式的值为0，则x的取值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：由题意，得，且，
∴，
故答案为：0．
10. 若点在第四象限，则m的取值范围是______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了点所在的象限求参数，根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的纵坐标小于0即可求解．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得，
故答案为：
11. 写出一个过点且y随x增大而减小的一次函数解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
由y随着x的增大而减小可得出，取，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出，此题得解．
【详解】解：设该一次函数的解析式为，
∵y随着x的增大而减小，
∴，
取，
则，
∵点在一次函数图象上，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，，，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是______填“甲”或“乙”或“丙”
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据越不稳定；反之，方差越小，表明表明这组数据越稳定．据此判断即可． 直接根据方差的定义作答即可．
【详解】解：∵，，，，
，
这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是乙，
故答案为：乙．
13. 在中，若，则______.
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的对角相等．由平行四边形的内角和等于可得的度数，再根据平行四边形的对角相等可得答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象和正方形的中心对称性、反比例函数比例系数的几何意义和正方形的面积，由反比例函数比例系数的几何意义求出点，再利用反比例函数图象的中心对称性求出阴影部分的面积，解题的关键是通过比例系数的几何意义求出点的坐标从而求出点的坐标．
【详解】解：如图，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：，或（舍去），
∴，
∵正方形的中心为原点，
∴，
∴，
∵反比例函数图象具有中心对称性，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 化简分式，并求当时分式的值.
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
17. 为促进学生加强体育锻炼，某学校准备购买一些篮球和足球．已知篮球单价比足球的单价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球数量是足球数量的2倍．求篮球和足球的单价分别是多少元？
【答案】每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元．
【解析】
【分析】设每个足球的售价为元，则每个篮球的售价为元．由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设每个足球的售价为元，则每个篮球的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴，
答：每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
18. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）96
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证；
（2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
19. 同一品种的花12株分相等的两组，分别在甲、乙两种不同的环境下，对其花期（单位：整数天）进行观察统计记录，并制成如图所示的尚不完整的统计表和折线统计图．
（1）若甲、乙两组花的花期平均数相同，
①请求出a的值；
②补充完整折线统计图，并借助折线统计图，直接判断在哪种环境下花期比较稳定？
（2）若甲、乙两组花的花期的中位数相等，则a的最小值是多少？
【答案】（1）①26；②图见解析，乙种环境
（2）25
【解析】
【分析】本题考查了折线图，中位数以及平均数等知识，
（1）①根据平均数相等可以列出关于a的一元一次方程，解方程即可作答；②按①中的数据补全折线图，折线图越平稳则表示花期越稳定，据此判断即可；
（2）先求出甲组中位数，再根据两组中位数相等，即可判断，
【小问1详解】
①由题意得：，
解得，
答：的值为26；
②补全折线统计图如解图所示：
从折线统计图上可以看出在乙种环境下，花期比较稳定；
【小问2详解】
甲种环境下的6株花的花期从小到大排列为：21，24，25，25，27，28，中位数为25，乙种环境下的6株花的花期为：23，24，25，25，27，，
要使中位数也25，
如果小于25，则数据排列为：23，24，，25，25，27；或者 23，，24， 25，25，27；或者，23，24， 25，25，27；
此三种情况，乙组的中位数均小于25，此时与题意不符舍去，
∴，
因此最小为25，
答：的最小值为25．
20. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，作使点P在边上，点C、点D均在格点上且点P不与点C、点D重合；
（2）在图②中，作使点P为对称中心，此时是______；填“矩形”或“菱形”或“正方形”
（3）在图③中，过点P作直线，直线将的面积分成相等的两部分.
【答案】（1）见解析 （2）菱形
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、平行四边形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的定义作出图形即可；
（2）作线段，使得点P是的中点，作线段，使点P是的中点，连接，四边形即为解答；
（3）连接交于点Q，作直线即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求答案不唯一．
【小问2详解】
解：如图四边形即为所求，平行四边形是菱形．
故答案为：菱形．
【小问3详解】
解：如图，直线即为所求．
21. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点和点在一次函数的图象上，与过点且平行于x轴的直线交于点
（1）求该一次函数的解析式及点P的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围______；
（3）当时，对于x的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值且小于4，则n的值为______.
【答案】（1），P的坐标为
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出点的坐标，再将点和点的坐标代入一次函数解析式即可解决问题，将代入一次函数解析式即可求出点的坐标．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）根据题意，得出关于的不等式组，据此可解决问题．
【小问1详解】
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
将代入得，
，
所以点的坐标为．
【小问2详解】
由题知，
反比例函数与一次函数在第一象限内的交点坐标为，
如图所示，
当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
所以当时，的取值范围是：．
【小问3详解】
因为当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，
所以当时，函数的函数值大于等于函数的函数值，
则，
解得．
又因为时，对于的每一个值，一次函数的值都小于4，
所以，
解得．
所以．
故答案为：2．
22. 综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用.
【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形现阶段研究的四边形均为凸四边形，即平行四边形和“筝形”.查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”.
【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题：
（1）表格中①、②处应分别填写的内容是：
①______；
②______；
（2）证明“筝形”有关对角线的性质补全结论，并写出完整的证明过程
已知：如图1，在“筝形”中，，，对角线和交于点
求证：______；
证明：
（3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有______将所有正确的序号填在横线上
①且；②；③且；④
【迁移应用】如图2在“筝形”中，，，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值．
【答案】（1）轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线；（2）见解析；（3）①③；（4）的最小值为
【解析】
【分析】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，菱形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据菱形的性质进行解答即可；
（2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可；
（3）根据筝形的判定进行判定即可；
（4）根据筝形的性质，，则，过点作于点，此时最小，进而计算即可．
【详解】解：（1）菱形是轴对称图形，
故①处为既是轴对称图形；
菱形的一条对角线垂直且平分另一条对角线，
故②处填一条对角线垂直且平分另一条对角线；
故答案为：轴对称图形，一条对角线垂直且平分另一条对角线；
（2）求证：，且平分；
证明：在和中，
，
，
，
和中，
，
，
，，
又，
，
故答案为：，且平分；
（3）①且；
根据筝形的定义则①正确；
③且；
在于中，
，
，
，
同理可证，
四边形是“筝形”，
故③正确；
故答案为：①③；
（4）“筝形”，
，，
连接，，
在与中，
，
，
，
则，
当点，，三点共线且过点作的垂线，此时线段最短，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
的最小值为．
23. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面AB长为160，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题.
（1）小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______；
（2）求图②中a的值及木块Q的运动速度；
（3）小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式；
（4）当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，直接写出x的值.
【答案】（1）16；10
（2）a的值为64，木块Q的运动速度
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解；
（2）依据题意，求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解；
（3）利用待定系数法计算可以得解；
（4）依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和（3）中解析式计算即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
【小问1详解】
由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是，
小球P的速度为，
故答案为：16；10；
【小问2详解】
由题意，，
又，
∴，
∴，
答：a的值为64，木块Q的运动速度．
【小问3详解】
由题意，设小球P第一次返回时，，
将，代入得，
解得，
∴．
【小问4详解】
由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为，
函数过，
∴，
∴，
∴此时函数为，
,又令，
∴，
又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为，
∴令，
解得，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或．
24. 如图，在正方形中，，E是对角线上一动点，连接DE，作交边或边的延长线于点F，以和为邻边构造矩形，连接
（1）若点E到边的距离为3，则它到边的距离为______；
（2）求证：矩形是正方形；
（3）线段和线段的数量关系是______，位置关系是______.
【答案】（1）3 （2）见解析
（3）相等，互相垂直
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质和判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）作于点Q，则，于点P，根据角平分线的性质即可得答案；
（2）证明四边形是矩形．再证明．则，即可证明矩形是正方形；
（3）证明，则，，得到，则，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，作于点Q，则，于点P，
∵四边形是正方形，
．
∵，，
．
∴点E到边的距离为；
故答案为：3；
【小问2详解】
∵，
∴四边形是矩形．
．
∵四边形是矩形，
．
．
∵，由（1）可知，，
．
∴
∴矩形是正方形；
【小问3详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上可知，线段和线段的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，
故答案为：相等，互相垂直．
一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
编号
1
2
3
4
5
6
甲组
24
25
27
28
25
21
乙组
23
27
25
25
24
a
名称
示例图形
对称性
边
角
对角线
平行四边形
是中心对称图形
两组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
筝形
①
两组邻边分别相等
一组对角相等
②