2025年高考数学二轮专题复习-点共线、线共点、点共圆问题-学案讲义

这是一份2025年高考数学二轮专题复习-点共线、线共点、点共圆问题-学案讲义，共68页。试卷主要包含了1解法概述等内容，欢迎下载使用。
一、证明三点共线的常用方法
(1)取三点中的一点,与另外两点分别连两条直线,证明它们都平行于或都垂直于某一条直线.
(2)证明连接两点的直线通过第三点.
(3)以三点中居中的点为顶点,过另外两点作两条射线,证明形成平角.
(4)居中的点与另外两点分别相连,形成两条直线,若与过中间点的一条直线组成对顶角,则三点共线.
(5)连接三点的三条线段中,有一条等于另外两条之和.
(6)以三点为顶点的三角形的面积为0.
(7)同一法,反证法.
二、证明三线共点的常用方法
(1)设两直线的交点,再证明此点在第三条直线上.
(2)证明各直线都过同一个特殊点.
(3)设两直线的交点,过此交点作出某一条直线,证明这条直线与第三条直线重合.
(4)证明以三直线两两相交的三个交点为顶点的三角形的面积为0.
(5)利用已知的线共点的结论.
(6)同一法、反证法.
三、证明四点共圆的常用方法
(1)四边形对角互补或者某一外角等于内对角.
(2)线段同侧的两点对于线段的张角相等.
(3)各点到某一定点的距离相等.
(4)利用相交弦定理的逆定理.
(5)把四边形分成两个有公共边的三角形,证明这两个三角形的外接圆重合.
(6)利用四点共圆的有关判定定理.
9.2范例分析
[范例1]
三角形一边上的高线的垂足在另外两边及另外两高线上的射影四点共线.
分析1对于四点共线问题，先证其中三点共线，再证第四点也在该直线上，如图F9.1.1所示，我们先证三点共线，这只要证.容易看出、共圆，共圆，所以，于是只要证，这可由、的共圆证出.
证明1因为，所以共圆，所以.
图F9.1.1
因为，所以共圆，所以
因为，所以共圆，所以.
所以，即三点共线.同理共线.因为为两直线上的公共点，所以四点共线.
图F9.1.2
分析2也可以采用同一法，连，再证明在直线上.
设与各交于，如图所示.因为，所以共圆，所以.又由共圆，，所以，所以共圆，所以，即.但过外的点只能作一条垂线与垂直，由，可见与重合.同理与重合.这就证出了、共线.(证明略.)
分析3如图所示，连若能证出都与同一条直线平行，则、共线.从图上观察，容易发现是所说的直线，连.
因为，所以，同理.设为的垂心.由知，所以.只要再证，也就是要证明.
图F9.1.3
和证明的方法类似，我们也尝试找一媒介比值，这只要取即可，很容易由平行截比定理证出，所以.
这表明从发出的两直线都与平行，所以共线.同理可证、共线.(证明略.)
[范例2]
和外离，是一条外公切线，是一条内公切线，是上的切点，是上的切点，则三线共点.
分析1证明三线共点，可先设两条直线交于一点，再证另一直线也过此点或两直线与第三条直线的交点都与之重合.设和交于，容易证明共圆，利用圆的内接四边形的外角等于内对角的定理，可证，从而推出.同理有，这样分析后可以看出有可能通过比例证出和的交点重合.
图F9.2.1
证明1连，延长，交于，连，设交于交于.如图所示.
因为，所以、共圆，所以.因为，所以等腰，所以.
因为，即，所以，所以.
因为，所以.
因为，所以.
设的延长线交于，设和交于.由平行截比定理，
因为，所以，所以，所以.
所以.由合比定理，，即，所以，所以重合.
所以三线共点.
分析2和同垂直于，则和可看作以为直径的圆的两条切线.同理都垂直于，则又可看作以为直径的圆的切线.因为，可见是到两个圆的切线长相等的点，即直线是此二圆的根轴.
由分析1知，设垂足为.因为，所以是此两圆的公共点.故应在两圆的公共弦线上.这样，只要连，证出共线，问题就解决了.证明这样的三点共线可采取分别证出都在过的某一条直线上的方法.
证明2设的延长线和交于.如证明1所证，.如图F9.2.2所示，以为直径各作一个圆.因为，所以在此两圆上.设两圆另外一交点为.
连.因为，所以和是
F9.2.2
的两条切线.同理和是的两条切线.
连，设与和各交于，由切割线定理，.因为，所以，所以.所以重合，即是和. 的公共点.因为两圆相交只有两个公共点，所以都与点重合.可见在上，即在和的公共弦上.同理可证在上，所以三点共线.
所以三线共点.
分析3这个公共点是否能预先确定它的性质?也即是说，点是怎样的特殊点?作出另一条内公切线各是上的切点.设的延长线与交于，过作为垂足，则这个垂足即是所说的点.这样，我们可以先作出，然后证出也过此点.这只要在连后证出，则可推知三点共线.同理，三点共线.可见都过上的这个特殊点.
证明3作另一条内公切线，在上的切点为.在上的切点为.延长，交于，过作的垂线，交于，交于.连，如图所示.
由整个图形关于轴对称知.因为都是切线，所以，可见五点都在以为直径的圆上，所以，又，所以.可见共线，即与也交于点.
同理，利用(以为直径)五点共圆及关于的轴对称性，又可证出、可见共线，即的延长线也过点.
综上，三线共点于.
[范例3]
为等腰的底边上的任一点，，分别交、于.设为点关于直线的对称点，则四点共圆.
分析1通过对角互补可证四点共圆.从条件知，又由是平行四边形，可进一步得到，可见，所以这时把四边形的两组对角分别加起来，很容易发现对角之和相等.
图F9.3.1
证明1如图所示，连.由对称性，.
易证是平行四边形，所以，所以，所以，故 ①易证，所以， ②因为AB=AC，所以 ③式①式②式③得
+
即.
因为，所以，所以、共圆.
分析2要证四点共圆，还可通过证明.由于，只要证出和其中任一角相等即可.但是直接证和、中的任何一个相等都有困难，这时可试着把分成几部分，若每部分都和要证的角有一定的关系，则整体也容易建立与要证的角的联系.
注意到的事实，可以想到的外心是的外心是，引用圆周角和同弧对的圆心角关系的定理，可很快证出结论.
证明2连，如图所示.
易证可见是的外心，是的外心.由圆周角和同弧上的圆心角关系的定理，
易证，
所以，即，所以共圆.
图F9.3.2
分析3要证四点共圆，可以通过证到一个定点等距离.这个定点如果存在，那么显然是的外心.利用，可得，即点在的中垂线上.只要证出是等腰梯形，是底，则可知也在的中垂线上.这样，到距离相等.
要证明是等腰梯形，只要证出即可.
证明3设为的外心.连，如图Y9.3.3所示.
因为，所以.又，所以.
易证是平行四边形，所以，又，所以，所以，所以，即在的中垂线上.
因为为公共边，所以，所以到等距离，所以是等腰梯形.由等腰梯形的轴对称性知，点又在的中垂线上，即.
所以，可见共圆.
图F9.3.3
9.3研究题
[例1]
三角形的三条中线共点.
证明1(三角形中位线定理、平行四边形的性质)
设中线交于，连并延长，交于，延长到，使，连，如图所示，则各是和的中位线，所以，所以是平行四边形，是其对角线.
因为平行四边形的对角线互相平分，所以，所以是边的中线，所以三中线共点.
图Y9.1.1
图Y9.1.2
证明2(三角形的中位线、平行四边形的性质)
设中线交于点，为的中点，连，作，交的延长线于，作，交于，如图所示.
在和中，由中位线定理知.
在中，由平行截比定理，，所以，所以，所以.
因为，所以是平行四边形的四个顶点，所以.
因为，所以共线，即是中线，所以三中线共点.
图Y9.1.3
证明3(中位线定理、相似三角形)
设中线交于，中线交于.连，如图
所示，则是的中位线，所以，，由知
同理，连后有，所以，所以
，即，所以与必定重合.
所以三中线共点.
证明4(三角形的中位线、平行四边形的性质)
设中线交于，中线交于.设分别是的中点，连、，如图所示，则分别是和的中位线，所以，所以，所以是平行四边形的四顶点，所以
同理，若连，又可证，所以，所以、重合.
所以三中线共点.
图Y9.1.4
图Y9.1.5
证明5(引用第5章例2的结果)
设中线交于交于.如图Y9.1.5所示.
由第5章例2的结果，，所以.可见内分成等比值.由分点的唯一性知重合，即三中线共点.
证明6(Ceva定理)
设.
因为，由三线共点的Ceva定理知共点.
证明7(面积法、反证法)
设三中线两两相交于，如图所示.若共线，表明各有两公共点，所以共线，与三角形的假设违背，所以不共线.
若实际上只是两点，设重合而与不重合，则与有两个公共点，所以应重合，与已知矛盾，所以不能仅有两点重合.
若是不共线的三点，则连，如图所示.是中位线，所以，所以，所以，所以.
图Y9.1.6
同理，.
连.因为各是的中点，所
以故 ， ，
因为
，把它们代人式(1)、式(2)、式(3)，再把三式相加，就得到，此式表明，这与假设矛盾.
所以是一个点，即三中线共点.
证明8(引用第6章例5的结论)
设三中线两两相交于由第6章例5的结论，.这里，所以，所以
但由证明7的分析知，不可能共线或仅有两点重合，所以实为一个点，即三中线共点.
图Y9.1.7
证明9(面积法、三角形全等)
设中线交于，连并延长，交于，作、，均与垂直，垂足分别是，如图Y9.1.7所示.
因为分别是的中点，所以所以，即.又因为，所以.
因为有公共底是对应高，所以
因为，所以，所以，即是边上的中线，所以三中线共点.
证明10(解析法)
如图Y9.1.8所示，建立直角坐标系.
设，则.
内分成比值的点的坐标为
图Y9.1.8
即.
同法还可求出内分为的分点也是这个点，即是的公共点，所以三中线共点.
[例2]
三角形的三高共点.
证明1(相似三角形、共圆)
设两高的交点为，连并延长，交于，连，如图所示.
由共圆知.
由共圆知，所以.因为为公共角，所以，所以，所以也是高线，即三高共点.
图Y9.2.1
图Y9.2.2
证明2(共圆、证三点共线)
设两高交于，连，作，垂足为，连，如图Y9.2.2所示.
因为共圆，所以.
因为共圆，所以.
因为共圆，所以.
所以，所以共线，即，所以三高共点.
证明3(利用三角形三边的中垂线共点的性质)
分别过作对边的平行线，三条直线两两相交，交点为，如图Y9.2.3所示.易证各边的中点分别是，所以是各边的中垂线.因为三角形各边的中垂线共点，所以共点，即的三高共点.
图Y9.2.3
证明4(Ceva定理)
如图Y9.2.4所示.
由知.
由知.
由知.
图Y9.2.4
以上三式连乘，得到，所以
.由Ceva定理知共点.
证明5(解析法)
图Y9.2.5
如图Y9.2.5所示，建立直角坐标系.
设.
的方程为.
因为，所以，所以的方
程为.
两方程联立可得.
所以，所以，所以，可见也是高，所以三高共点.
[例3]
两直线交于点，在上有，满足.在上有，满足，则三直线共点.
证明(三角形中位线定理、同一法)
设交于.连并延长，交的延长线于，连，如图Y9.3.1所示，则是的中位线，所以.
因为，所以，所以，所以.因为，所以，所以.
因为，所以，即与重合.
所以三线共点.
图Y9.3.1
图Y9.3.2
证明2(平行截比定理、三角形的中位线)
作，交于，连，设交于，连，如图Y9.3.2所示.
易证，所以.在中，由中位线逆定理知是的中位线，所以.
因为，所以.
在中，由中位线逆定理知与的交点是的中点，即也过.
所以三线共点.
证明3(中位线定理、重心的性质)
连，如图所示.
在中，是中位线，所以.在中，由中位线逆定理知必过的中点，即.
在中，是边上的中线，点分成的两部分，所以是的重心，所以必是上的中线，即过.
所以三线共点.
证明4(同一法)
设交于，作，分别交于，设交于，如图Y9.3.4所示.
易证，所以.
由知.
由知.
在中，，所以，所以，即.可见都是内分线段成比值3的点，由定比分点的唯一性知重合，即共点.
图Y9.3.3 图Y9.3.4
证明5(解析法)
如图Y9.3.5所示，建立直角坐标系.
设，，则
的方程为，即
图Y9.3.5
= 1 \* GB3 ①
的方程为，即
= 2 \* GB3 ②
的方程为，即
= 3 \* GB3 ③
方程(1)、(2)、(3)的系数行列式为
所以三线共点.
[例4]
在梯形中，为的中点，则的平分线必交于.
证明(梯形的中位线、等腰三角形)
图Y9.4.1
作，交于，如图所示，则是梯形的中位线，所以，所以.因为，所以，即的平分线为.
同理可证的平分线是.
证明2(三角形全等、等腰三角形)
延长，交的延长线于，如图Y9.4.2所示.易证，所以.
因为，所以，即，所以.又，所以，即的平分线过点.
同理可证的平分线也过点.
图Y9.4.2
图Y9.4.3
证明3(梯形的中位线、三角形全等、菱形的性质)
作，交于，则是梯形的中位线.过作的平行线，交于，交的延长线于，如图Y9.4.3所示.
易证，所以，所以.
易证是平行四边形，所以，所以，所以、都是菱形，分别是它们的对角线.由菱形的对角线的性质知分别是的角平分线.
证明4(三角形全等、内角和定理)
在上取，使.因为，所以.连、，如图Y9.4.4所示，则.
因为，所以，即，所以.所以是斜边上的中线，所以.
由知，所以的平分线交于点.
图Y9.4.4
图Y9.4.5
证明5(面积法)
过作，交于，交于.作，垂足为.伡.如图Y9.4.5所示.
易证，所以.
因为，所以，所以.
可见点到的两边等距离，所以分别是的平分线.
证明6(解析法)
如图Y9.4.6所示，建立直角坐标系.
设，则b)
连.
因为，所以是的平分线.同理是的平分线.
图Y9.4.6
[例5]
在中，在的延长线上，为的中点，则共线.
图Y9.5.1
证明1(同一法)
连并延长，交于，如图Y9.5.1所示.
在中，，所
以.因为，所以，所以
.易证.
所以是的斜边的中点，所以与重合.
所以共线.
证明2(直角三角形斜边中线定理)
如图Y9.5.2所示，连.
在中，是斜边上的中线，所以.因为，所以
因为是等腰的外角，所以，所以
所以，所以共线.
图Y9.5.2
图Y9.5.3
证明3(角平分线、平行公理)
连，作的平分线，交于，如图Y9.5.3所示.因为，所以.
因为是斜边上的中线，所以，所以，所以.
因为是等腰的外角，所以，所以，所以.可见都与平行，所以共线.
证明4(Menelaus定理)
在上取，使，连，如图Y9.5.4所示，则是等腰三角形，所以
图Y9.5.4
因为，所以，所以也是等腰三角形.所以.因为，所以，所以
由Menelaus定理知三点共线.
证明5(解析法)
如图Y9.5.5所示，建立直角坐标系.
图Y9.5.5
连.
设，则.
作，垂足为，由三线合一定理知设，则.因为，所以，所以.
所以
在中，由正弦定理，，所以，所以，所以三点共线.
[例6]
在中，分别是的中点，延长到，使，延长到，使，则共线.
证明1(证明平角)
如图Y9.6.1所示，伡.
易证，所以，
图Y9.6.1
因为，所以，即为平角，所以共线.
证明2(利用平行公理)
如图Y9.6.2所示，连.
因为四边形和四边形的对角线互相平分，所以和都是平行四边形，所以.由平行公理知共线.
证明3(中位线定理、乎行截比定理、同一法)
连并延长，交的延长线于，连，如图所示.
因为是的中位线，所以，所以.
在中.由平行截比定理，，所以.又，所以且共线，在点同侧，所以和重合.
所以共线.
证明4(平行截比逆定理、平行公理)
连，设交于，如图所示.
因为是和的中位线，所以，所以，所以，所以.
因为，所以，由平行截比逆定理，，所以.所以共线.
图Y9.6.4
证明5(解析法)
如图Y9.6.4所示，建立直角坐标系.设，则
由中点坐标公式可求出的纵坐标，，所以，所以共线.
[例7]
梯形的上下底的中点和对角线的交点共线.
证明1(同一法)
如图Y9.7.1所示，设上、下底的中点各为，对角线的交点为(以下同).连并延长，交于.
由知.
图Y9.7.1
证明1由知.
所以.因为，所以，所以为的中点，所以与重合.
所以共线.
图Y9.7.2
证明2(证明对顶角)
连，如图Y9.7.2所示.
由知.
因为，所以，所以，即形成对顶角.
所以共线.
证明3(平行截比定理、同一法)
如图Y9.7.3所示，过作，分别交于，则.
延长，相交于，连.设与各交于.
因为，由平行截比定理知，所以与与分别重合.
所以共线.
图Y9.7.3
图Y9.7.4
证明4(平行截比定理、平行四边形的性质)
如图Y9.7.4所示，连作，各交的延长线于.连.由中位线性质逆定理知，所以，所以是平行四边形.
延长，交于，交于，则是的中点.因为，所以，由平行截比定理知是的中点，所以与重合.
所以共线.
图Y9.7.5
证明5(面积法、反证法)
若不共线，则.
连，过作，分别交于、，如图Y9.7.5所示，则.
所以.
因为，又有，
所以，即.
因为表示梯形的高，所以，即.
由此可知，与假设矛盾，所以共线.
证明6(解析法)
如图Y9.7.6所示，建立直角坐标系.
设，则
连的方程是，即
图Y9.7.6
的方程为
的方程为
联立式(2)、式(3)，得到.
因为，可见点的坐标满足方程(1)，即点在上.
所以共线.
[例8]
在中，为垂心，为的中点，是外接圆的直径，则共线.
证明1(同一法)
设为外心，连并延长，交于，则.连，连并延长，交于，如图所示.
由垂径定理，，所以.
因为，在中，由中位线逆定理知.
由第2章例14的结果，，所以，所以和重合，所以共线.
图
图Y9.8.2
证明2(同一法、平行四边形)
连，如图Y9.8.2所示.
因为为垂心，所以.
因为为直径，所以，所以.同理，所以是平行四边形.连，交于.由平行四边形的对角线互相平分的性质知为的中点，所以与重合，所以共线.
证明3(对顶角、三角形全等、等腰梯形的对称性)
如图Y9.8.3所示，连，连并延长，交于，交⊙O于，连
因为为垂心，所以，所以.因为，所以，所以，即是的中垂线，所以，所以，所以
因为是直径，所以.因为，所以所以是等腰梯形，是其底边的中点.由等腰梯形的轴对称性，.
因为，所以，所以共线.
图Y9.8.3
证明4(Menelaus定理)
连，则延长，交于，交于，则.设的交点为，连，则.如图Y9.8.4所示.
在中，
在中，
所以由三点共线的定理知共线.
证明5(三角法、求边长)
连，如图Y9.8.5所示.由第2章例14的
结果知，所以.在和中，由余弦定理有
所以.
由正弦定理，又有，
所以.
因为都是锐角，所以，所以共线.
证明6(面积法、反证法)
如图Y9.8.6所示，连，由第2章例14知,
连，设交或的延长线于.
若不共线，则与不重合.
在中，是中位线，所以，又因为，所以
因为和在互相平行的底和上具有等高，所以.
所以.
又因为和在底上具有等高，所以，所以.这表明与应当重合.与假设矛盾.
所以共线.
[例9]
自的外接圆上的任一点向三边所在的直线引垂线,设为垂足,则共线.(Simsn定理)
证明1(共圆、证明平角)
连,如图Y9.9.1所示.
因为是圆的内接四边形的外角,
所以
因为,
所以和分别共圆,
所以
所以
所以为平角,所以共线.
证明2(同一法、共圆)
连,连并延长,交的延长线于,连,
如图Y9.9.2所示.
因为共圆,所以.
因为共圆,所以.
所以,
所以共圆,
所以,
所以,
所以.
又,所以重合,
所以共线.
证明3(平行公理)
连,如图所示.
因为共圆,
所以.
因为共圆,
所以.
因为共圆,
所以.
所以,
所以,所以共线.
证明4(证对顶角相等)
连,如图Y9.9.4所示.
因为共圆,
所以.
因为共圆,
所以,
所以,
所以
因为共圆,
所以.
因为共圆,
所以,
所以,
所以共线.
证明5(Menelaus定理)
如图Y9.9.5所示,连.
因为共圆,
所以,
所以,
所以
同理,,又有.
所以.由Menelaus定理知、共线.
[例10]
在中,,以为直径的圆交于,过任作一直线,与圆交于,与交于,则共圆.
证明1(圆外角定理、圆周角定理)
如图Y9.10.1所示,
连,则.
因为是圆外角,
所以.
所以.
所以共圆.
证明2(直径上的圆周角、圆的内接四边形的外角)
如图Y9.10.2所示,
连.
因为是直径,
所以,
所以和的两双边对应垂直,
所以.
因为是圆的内接四边形的外角,
所以,
所以
所以共圆.
证明3(相交弦定理、比例中项定理)
如图Y9.10.3所示,
连.
因为是直径,
所以.
在和中,由比例中项定理,有
所以.
所以共圆.
证明4(同弧上的圆周角)
连,如图Y9.10.4所示.
因为是直径,所以.
因为和的两双边对应垂直,
所以.
因为和是同弧上的圆周角,
所以,
所以.
所以共圆.
证明5(圆的内接四边形中的对角互补、周角)
连,如图Y9.10.5所示,
则.
因为共圆,
所以.
因为是直角三角形,
所以.
因此
所以共圆.
[例11]
为中的两条平行弦,为的中点,的延长线交于,则共屌.
证明1(垂径定理、圆心角与同弧上的圆周角)
连,延长,交于,如图Y9.11.1所示.
由垂径定理知.
因为,
所以,由垂径定理知为的中点,
所以.
因为圆周角和圆心角同弧,
所以
所以共圆.
证明2(对妳性、垂径定理、等腰三角形)
如图Y9.11.2所示,连.
因为,
所以
由垂径定理知.
因为,
所以,
所以是的中垂线.由对称性,.
所以,
所以共圆.
证明3(三角形的外角、圆周角与同弧上的圆心角)
如图Y9.11.3所示,连.
因为是圆心角,是同弧上的圆周角,
所以.
是的外角,由对称性知是等腰三角形,所以.
所以,
所以共圆.
证明4(对称性、圆周角与同弧上的圆心角)
连并延长,交于,则和关于对称.连
,如图Y9.11.4所示,所以.
因为和分别为同弧上的圆周角和圆心角,
所以,
所以共圆.
[例12]
在正方形中,为的三等分点中距近的分点,在的延长线上,和的延长线交于,则共圆.
证明1(三角形相似、相交弦定理的送定理)
延长,交的延长线于,如图Y9.12.1所示.
由知.设,则.
由知.
在中,,又,由此可解出
由,得,
所以共圆.又因为共圆,
所以共圆.
证明2(圆周角定理的逆定理)
连并延长,交的延长线于,延长,交的延长线于,如图Y9.12.2所示.设.
如证明1所证,.
由知,
所以,
所以.
因为,
所以,
所以,
所以共圆。
所以共圆.
证明3(切割线定理、同弧上的圆周角)
延长到,使,连,交于,如图所示.
易证.设.
连.在中,
因为,
所以
可见,是的外接圆的切线,
所以
所以,所以共圆
所以共圆.
证明4(引用第4章例11的结果、直径上的圆周角)
连.因为,若以为边连续作两个和全等的正方形,
如图所示,
则知是矩形的对角线,由证明1得为矩形的长边的中点,由第4章例11的结果知
所以,
所以共圆,
所以共圆.
证明5(三角法)
如图Y9.12.5所示,连.
设.
在中,.
在中,,
所以
所以,
所以,
所以共圆,
所以共圆.
证明6(解析法)
如图Y9.12.6所示,建立直角坐标系.
设,正方形的中心为,则,
的方程为的方程为,联立解得.
所以.
可见,到点等距离,所以共圆.
[例13]
在任一个中,下列九点共圆:各边的中点,三高的垂足,各顶点与垂心间线段的中点.
证明1(直角三角形的斜边的中线、三角形的中位线）
如图所示,
连,则是的中位线,是的中位线,
所以
因为和的两双边对应垂直,
所以,
所以在以为直径的圆上.同理,也在该圆上.
在和中,各是斜边上的中线,
所以,
所以,
所以在以为直径的圆上.同理,也在该圆上.
因为,
所以也在以为直径的圆上,
所以九点共圆.
证明2(先证四点共圆,再打充结论)
如图Y9.13.2所示,
连.
因为分别共圆,
所以.
在中,是斜边上的中线,
所以,
所以,
所以共圆.
同理,和分别共圆.
在这三组四点共圆中,每两组间都有三个公共点,
由三点定圆的定理知六点共圆.
连,则是决定的圆的圆心,和分别是同弧上的圆心角和圆周角,
所以.
由垂足三角形的性质,,
所以,
所以共圆.
同理,、分别共圆,
所以共圆.
所以九点共圆.
证明3(先证四点共圆、等腰梯形的性质)
如图Y9.13.3所示,
连,则是的中位线,
所以
是的斜边上的中线,
所以,
所以,
所以是等腰梯形,
所以共圆
连.同理,共圆.
同理,共圆,
所以共圆.
同理,共圆,共圆.
所以九点共圆.
证明4(矩形、证到定点等距离)
连,设交于,连,如图Y9.13.4所示.
因为分别是和的中位线,
所以.
因为是的中位线,
所以,
所以,
所以,
所以是矩形,
所以,
所以是的斜边上的中线,
所以同理,
同样的方法,又可证是矩形.
因为矩形和矩形有公共对角线,
所以两矩形有共同的中心,即到等距离.同理又有.
所以九点共圆.
证明5(三角形的中位线、引用本章例8的结果)
作的外接圆及其直径.设为外接圆的圆心,为半径.延长,交于.连、,设的中点为,连.如图Y9.13.5所示.
由本章例8的结果,三点共线.因为,由垂径定理,,
所以.在中,由中位线逆定理知为的中点.
因为分别为的中点,所以
共线,所以.因为
为的斜边上的中线,所以
同理,.
所以九点共圆.
证明6(解析法)
如图Y9.13.6所示,
建立直角坐标系.设的中点为.设,0),则.
的方程为,即.
因为,所以.
的方程为,即.
由,解得.利用中点公式,可求出
因为是..的斜边的中点,所以.设,则
.
所以到点等距离.
再由
=
=
=
=
==
=
=
同理,.
所以九点共圆.