2024-2025学年九年级数学上册专题1.1 菱形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题1.1 菱形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共13页。


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\l "_Tc3291" 【题型1 由菱形的性质求角度】 PAGEREF _Tc3291 \h 1
\l "_Tc25563" 【题型2 由菱形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc25563 \h 2
\l "_Tc1637" 【题型3 由菱形的性质求面积】 PAGEREF _Tc1637 \h 3
\l "_Tc2457" 【题型4 菱形在平面直角坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc2457 \h 4
\l "_Tc23348" 【题型5 菱形中的证明】 PAGEREF _Tc23348 \h 6
\l "_Tc16817" 【题型6 添加条件使四边形是菱形】 PAGEREF _Tc16817 \h 7
\l "_Tc30083" 【题型7 证明四边形是菱形】 PAGEREF _Tc30083 \h 8
\l "_Tc30876" 【题型8 由菱形的性质与判定求角度】 PAGEREF _Tc30876 \h 9
\l "_Tc22095" 【题型9 由菱形的性质与判定求线段长度】 PAGEREF _Tc22095 \h 10
\l "_Tc47" 【题型10 由菱形的性质与判定求面积】 PAGEREF _Tc47 \h 12
知识点1：菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【题型1 由菱形的性质求角度】
【例1】（23-24·广西·三模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，连接OE，若∠DAB=110°，则∠OEC的度数为 °．
【变式1-1】（23-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=140°，则∠DAC等于（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形ABCD中，∠A=50°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBC的度数为 ．

【变式1-3】（23-24·广东·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形，BF与CD交于点G，∠A=60°，∠BEC=22°，则∠BGC=（ ）
A．76°B．82°C．86°D．104°
【题型2 由菱形的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠B=60°，将该菱形纸片沿折痕EF翻折，使点D落在AB的中点G处，则DE的长是 ．
【变式2-1】（23-24九年级下·福建宁德·期末）如图，在菱形ABCD中，∠D=60°,AC=6，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24B．30C．183D．363
【变式2-2】（23-24九年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是对角线BD上任意一点（P不与B、D重合），以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为 ．
【变式2-3】（23-24·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）

A．3B．13C．133D．273
【题型3 由菱形的性质求面积】
【例3】（23-24九年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是边DC,AD的中点，连接BE,EF,BF．若菱形ABCD的面积为16，则△BEF的面积为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式3-1】（23-24九年级下·全国·专题练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．247B．48C．72D．96
【变式3-2】（23-24九年级下·广西贺州·期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△ECF的面积为（ ）

A．34B．32C．334D．3
【变式3-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图所示，第一个菱形OBCD的边长为2，∠BOD=60°，且点D落在y轴上，延长CB交x轴于A，以CA为边作第二个菱形AB1C1C；延长C1B1交x轴于点A1，以C1A1为边作第三个菱形A1B2C2C1…，按这样的规律进行下去，若点D、C、C1、C2…都在一条直线上．
【探究】
(1)A1C1=______AC；
(2)An−2Cn−2=______BC=______；
(3)则第n个菱形的面积为______．
【题型4 菱形在平面直角坐标系中的运用】
【例4】（23-24九年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A−2，0，点B在y轴上，菱形OBCD的顶点D4，3．

(1)求直线OC的解析式；
(2)点P是对角线OC上的一个动点，当AP+BP取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使△QAD的面积等于菱形OBCD的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【变式4-1】（23-24九年级下·山东聊城·期末）在如图所示的直角坐标系中，菱形ABCD的边长是2，E(0,2)为BC的中点．y轴垂直平分BC，垂足为点E．请分别求出点A，B，C，D的坐标．

【变式4-2】（23-24九年级下·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0,2，B(0,−3)，C(4,0)，P(−2,0)，且以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形．
(1)直接写出D点的坐标______；
(2)请用无刻度直尺作直线l，使直线l经过点P且平分菱形的面积，保留作图痕迹；
(3)已知点T是CD边上一点，若线段OT将菱形ABCD的面积分为2：3两部分，直接写出点T的坐标．
【变式4-3】（23-24九年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(2,0)，点D在y轴上，∠DAB=60°．

(1)求点C和点D的坐标．
(2)点P是对角线AC上一个动点，当OP+BP最短时，求点P的坐标．
【题型5 菱形中的证明】
【例5】（23-24·福建三明·一模）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD,AD.上，AF=CE，求证：AE=CF．
【变式5-1】（23-24·广东广州·一模）如图，菱形ABCD中，过点C分别作边AB，AD上的高CE，CF，求证：BE=DF．
【变式5-2】（23-24九年级下·北京海淀·期末）如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，EF∥BC交BD于点M，交CD于点F．求证：CF=EM．

【变式5-3】（23-24九年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形ABCD沿着EF，GH折叠后，点B，D重合于对角线BD上一点M，求证：四边形AEMG是平行四边形．

知识点2：菱形的判定
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
【题型6 添加条件使四边形是菱形】
【例6】（23-24九年级下·北京东城·期末）如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（ ）

①AC=BD；②AC平分∠BAD；③AB=BC；④AC⊥BD；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式6-1】（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB=ACB．AD=BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
【变式6-2】（23-24九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
【变式6-3】（23-24·河北承德·模拟预测）依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 证明四边形是菱形】
【例7】（23-24九年级下·广东珠海·期中）如图1，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD

求证：四边形ABCD是菱形；
【变式7-1】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE．
(1)利用尺规作图，在边AD求作一点F，使得∠DCF=∠BAE；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AE=EC，证明：四边形AECF为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴______________________AB=CD，BC=AD．
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AE=CF，______________________．
∵BC=AD，
∴BC−BE=AD−DF，
∴______________________
∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（______________________）．（填推理依据）
∵AE=EC，
∴四边形AFCE是菱形（______________________）．（填推理依据）
【变式7-2】（23-24九年级下·广东汕尾·期中）已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

(1)求证：BE=DG；
(2)若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
【变式7-3】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．
(1)【实践与操作】过点B作AE的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)【猜想与证明】设（1）中的垂线交AC于点F，连接EF，试猜想四边形ABEF的形状，并证明．
【题型8 由菱形的性质与判定求角度】
【例8】（23-24·四川成都·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C、B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD=130°，则∠CAD= ．
【变式8-1】（23-24九年级下·湖北恩施·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，其顶点我们称为格点，△ABC，△ABD为格点三角形．

(1)请你仅用无刻度的直尺，在这个4×4的正方形网格中，画出个以AD为边的不是正方形的菱形，并简单说明理由；
(2)求∠ADB+∠ACB的大小．
【变式8-2】（23-24九年级下·四川德阳·期末）如图，在菱形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AE、DE．若对角线AC＝AB，则∠DEA＝ 度．
【变式8-3】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DA，对角线AC，BD交于点O，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连结OE，交CB于点F，若∠ACB=20°，则∠CFE=______度．
【题型9 由菱形的性质与判定求线段长度】
【例9】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，四边形ABCD中AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（ ）

A．4B．33C．523D．25
【变式9-1】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，BD是▱ABCD的对角线，AM⊥BC于点M，交BD于点E，连接CE．若点M为BC的中点，EA=EC，BE=1，则▱ABCD的周长为 ．
【变式9-2】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，则AC的长为（ ）
A．2.4B．3.6C．4.8D．6
【变式9-3】（23-24九年级下·河南南阳·期末）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿EF对折再展平，沿折痕剪开，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再将矩形ABEF绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D重合，点F的对应点为F′，则图②中阴影部分的周长为 ．

【题型10 由菱形的性质与判定求面积】
【例10】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，连接AD，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交线段BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AF=DC；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．
【变式10-1】（23-24·吉林长春·一模）如图，在▱ABCD中，按如下步骤操作：①以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；②再分别以点B、F为圆心，大于12BF的长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接AP并延长交BC于点E，连接EF．若BF=6，AB=5，则四边形ABEF的面积为 ．

【变式10-2】（23-24九年级下·贵州六盘水·期末）如图，在▱ABCD中，AB=BC，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且E，F分别是BC和CD的中点，连接AC，若AE=AF=3，则△AEF的面积等于（ ）

A．983B．323C．943D．923
【变式10-3】（23-24·河北·模拟预测）如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形，
(3)若ED=6，AE=10，则菱形AECF的面积是多少？