2024-2025学年九年级数学上册专题1.2 矩形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题1.2 矩形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共12页。


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\l "_Tc26964" 【题型1 矩形性质的理解】 PAGEREF _Tc26964 \h 1
\l "_Tc23505" 【题型2 由矩形的性质求角度】 PAGEREF _Tc23505 \h 2
\l "_Tc19631" 【题型3 由矩形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc19631 \h 3
\l "_Tc26951" 【题型4 由矩形的性质求面积】 PAGEREF _Tc26951 \h 4
\l "_Tc11607" 【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc11607 \h 5
\l "_Tc7505" 【题型6 矩形中的的证明】 PAGEREF _Tc7505 \h 6
\l "_Tc15312" 【题型7 添加条件使四边形是矩形】 PAGEREF _Tc15312 \h 8
\l "_Tc27711" 【题型8 证明四边形是矩形】 PAGEREF _Tc27711 \h 8
\l "_Tc29086" 【题型9 由矩形的性质与判定求值】 PAGEREF _Tc29086 \h 10
\l "_Tc11819" 【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】 PAGEREF _Tc11819 \h 11
知识点1：矩形的性质
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
【题型1 矩形性质的理解】
【例1】（23-24九年级下·湖北随州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列结论一定正确的是（ ）
A．△AOB是等边三角形B．AO=12BD
C．AC⊥BDD．BD平分∠ABC
【变式1-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等
【变式1-2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．内角和为360°
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【变式1-3】（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．对角线AC的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变
【题型2 由矩形的性质求角度】
【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）．

A．30°B．45°C．50°D．60°
【变式2-1】（23-24九年级下·湖南·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，若∠ACB=15°，则∠AOE的大小为 ．
【变式2-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠EAO=15°，则∠BOE=( )
A．60°B．70°C．75°D．80°
【变式2-3】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，且∠OAD=2∠OAE，则∠AOB的度数为 ．
【题型3 由矩形的性质求线段长度】
【例3】（23-24九年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为（ ）
A．2B．83C．3D．103
【变式3-1】（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，对角线AC上有一点G（异于A，C），连接DG，将△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，则BF的长为 ．
【变式3-2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，AF平分∠BAD，E为矩形ABCD的对角线BD上的一点，EC⊥BD于点E，EC的延长线与AG的延长线交于点F，若BD=10，则CF的值是( )

A．6B．7C．8D．10
【变式3-3】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则EF的长为 .
【题型4 由矩形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，DF=1，AF=BF，则四边形BCDE的面积为（ ）
A．23B．43C．45D．25
【变式4-1】（23-24九年级下·上海金山·期中）如图，长方形ABCD中，点E、F分别为AD、BC边上的任意点，△ABG、△DCH的面积分别为15和25，那么四边形EGFH的面积为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E、F、G、H分别在AB、 BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=2．点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1、S2，则S1+S2= ．
【变式4-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（ ）

A．△ABE与△BEC面积之差B．△ADE与△BEC面积之差
C．△DEC与△BEC面积之差D．△ADC与△DEC面积之差
【题型5 矩形在平面直角坐标系中的运用】
【例5】（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是−6,4，点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（ ）
A．−1,0B．−2,0C．−3,0D．−4,0
【变式5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线OE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点C恰好落在边AD上的点F处若点D的坐标为4,5，则点E的坐标为
【变式5-2】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的横坐标为 ．

【变式5-3】（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是原点，顶点A0,12，顶点C5,0；点D是BO的中点，点E是直线AB上的动点，若∠CDE=3∠BED，则点E的坐标是
【题型6 矩形中的的证明】
【例6】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．

(1)求证：BC=DF；
(2)求证：△DCG≌△BEG；
(3)求证：AC=2BG．
【变式6-1】（23-24九年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形ABCD外一点，连接MB、MC、MA、MD，且MA=MD．
求证：MB=MC．

【变式6-2】（23-24九年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，AF，DE交于点M，且AM=DM，求证：BF=CE．
【变式6-3】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE=GH．求证：BE=CF．

知识点2：矩形的判定
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.
【题型7 添加条件使四边形是矩形】
【例7】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC,OB=OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB=ADB．OA=OBC．AB⊥ADD．∠ABO=∠BAO
【变式7-1】（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD=BC且AC=BDB．AD=BC且∠A=∠B
C．AB=CD且∠A=∠CD．AB∥CD且AC=BD
【变式7-2】（23-24九年级下·河南商丘·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是（ ）
A．EF=ADB．∠AEB=∠DFC
C．BE=CFD．∠DAE=∠AEF
【变式7-3】（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．DB＝DEB．AB＝BEC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE
【题型8 证明四边形是矩形】
【例8】（23-24九年级下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE=DG，BF=DH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当AB=BC，且BE=BF时，请判断四边形EFGH的形状并证明．
【变式8-1】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上， BE=DF，连接AC、EF、AE和CF，AC=EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【变式8-2】（23-24九年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长BA至点H，使AH=BA，连接DH，过点H作HG∥DB，过点B作BG∥AC．
(1)求证：HD=AC；
(2)当DA=AB时，求证：四边形HGBD是矩形．
【变式8-3】（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=4，CF=3，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【题型9 由矩形的性质与判定求值】
【例9】（23-24九年级下·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，D，E分别为AC,BC上的点，AD=CE=2，F，G分别为AE，BD的中点，连FG，则FG的长度是 ．

【变式9-1】（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点A0,23，点B2,0，点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为 ．
【变式9-2】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，连接AE，点F是边AD上一个动点，将△AEF沿EF翻折得到△PEF，已知AB=1，AD=4，DE=3
(1)求AE的长；
(2)若点P落在DC的延长线上，求△AEF的面积；
(3)若点P落在射线BC上，求AF的长.
【变式9-3】（23-24九年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A15,0．点C0,9，在边AB上任取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．

(1)OA的长=______，OE的长=________，CE的长=________，AD的长=________；
(2)设点P在x轴上，且OP=EP，求点P的坐标．
【题型10 由矩形的性质与判定进行证明】
【例10】（23-24九年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．
(1)在图1中证明CE=CF；
(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
【变式10-1】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使BD=CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级下·重庆梁平·期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°．有下面的结论：①ΔODC是等边三角形；②∠AOE=135°；③SΔAOE=SΔCOE．其中，正确结论的个数为 ．
【变式10-3】（23-24九年级下·北京大兴·期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AD于点F，作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．
（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，用等式表示线段BE与DN之间的数量关系（其中2小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE．