2024-2025学年九年级数学上册专题21.1 二次根式【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版）

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\l "_Tc27511" 【题型1 辨别二次根式】 PAGEREF _Tc27511 \h 1
\l "_Tc15090" 【题型2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc15090 \h 2
\l "_Tc18602" 【题型3 求二次根式的值】 PAGEREF _Tc18602 \h 2
\l "_Tc19252" 【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】 PAGEREF _Tc19252 \h 3
\l "_Tc8178" 【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】 PAGEREF _Tc8178 \h 3
\l "_Tc11858" 【题型6 由二次根式的值求参数】 PAGEREF _Tc11858 \h 3
\l "_Tc14421" 【题型7 根据二次根式是整数求字母的值】 PAGEREF _Tc14421 \h 4
\l "_Tc10775" 【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】 PAGEREF _Tc10775 \h 4
\l "_Tc22497" 【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc22497 \h 4
\l "_Tc28157" 【题型10 复合型二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc28157 \h 4
知识点1：二次根式的概念
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 辨别二次根式】
【例1】（23-24九年级下·湖北随州·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．πB．35C．32D．3
【变式1-1】（23-24九年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．−3B．x2+0.1C．31−aD．x+1
【变式1-2】（23-24九年级上·重庆万州·期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．2xB．x+12xC．5D．3x
【变式1-3】（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习）在式子3、x2+1、a+1a<−3、y2y>0、−2xx<0中，是二次根式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
知识点2：二次根式有意义的条件
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若x=3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A．x−1B．12−xC．x−4D．−2x
【变式2-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）“△”表示的是一个二次根式，则“△”不可能是（ ）
A．－1B．4C．2D．8
【变式2-2】（23-24九年级下·广东惠州·期中）若代数式12−x有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x<2C．x>2D．x≥2
【变式2-3】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）函数y=12−x−x+1自变量x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3：二次根式的性质
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
【题型3 求二次根式的值】
【例3】（2024·河北张家口·三模）若a=10，则计算200a2的结果正确的是（ ）
A．205B．±205C．±1002D．1002
【变式3-1】（23-24九年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式−3x+10的值为（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【变式3-2】（23-24九年级下·四川绵阳·期末）将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，则−kb的值为（ ）
A．3B．36C．±3D．310
【变式3-3】（23-24九年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，2a+1＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时，4−(a+2)2的值最大，为 ．
【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】
【例4】（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知2012−a+a−2013=a，则a−20122的值（ ）
A．2011B．2012C．2013D．2014
【变式4-1】（23-24九年级上·湖北十堰·期末）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足a=5b−6−412−2b+3，此三角形的周长为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽池州·期末）已知：2x+y+2027+x+2y−2024=(m−n)−2024×2024−(m−n)．求(x+y)m−n的值．
【变式4-3】（23-24九年级下·安徽淮北·期末）已知3x−6+6−3x+y=2024，则2024xy的值为（ ）
A．20243B．20242C．2024D．2025
【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】
【例5】（23-24九年级下·湖北恩施·期末）点(m,n)在第一象限，m，n均为整数，且满足n=53m−1−3−m，则m+n的值为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【变式5-1】（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足m−12=1−m，则m的取值范围是 ．
【变式5-2】（23-24九年级下·四川自贡·期中）如果a+a2−6a+9=3成立，那么实数a的取值范围是( )
A．a≤0B．a≤3C．a≥−3D．a≥3
【变式5-3】（23-24九年级下·浙江杭州·期末）若a−a2=−2a，则a的取值范围是 ．
【题型6 由二次根式的值求参数】
【例6】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若 31×53×75×⋯×2n+12n−1=11，则n的值为（ ）
A．40B．50C．60D．70
【变式6-1】（23-24九年级上·河南开封·期末）1−a＝2，则a＝ ．
【变式6-2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知x=3,那么x2= ．
【变式6-3】（2023九年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足a−1<5【题型7 根据二次根式是整数求字母的值】
【例7】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）若36n是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【变式7-2】（2023·河南周口·九年级期末）若m6属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值 ．
【变式7-3】（23-24九年级下·辽宁营口·阶段练习）12−n是一个正整数，则n的最小正整数是 ．
【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】
【例8】（23-24九年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ．
【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）将3x2−4在实数范围内分解因式得 ．
【变式8-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）在实数范围内分解因式：
(1)x2−7；
(2)x3−5x；
(3)4x2−11；
(4)x2−23x+3．
【变式8-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在实数范围内分解因式：x4−9x2+20= ．
【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例9】（23-24九年级下·湖北荆门·阶段练习）已知xy=3，则yxy+xyx= ．
【变式9-1】（23-24九年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：
化简：(a−b)2−(a+1)2−(b−1)2．
【变式9-2】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简2−m2+m的结果为 .
【变式9-3】（23-24九年级上·上海嘉定·阶段练习）化简：3a2b2−19ab=
【题型10 复合型二次根式的化简求值】
【例10】（23-24九年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将a+2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a且mn=b，则将a+2b将变成m2+n2±2mm，即变成(m+n)2，从而使得a+2b得以化简．
(1)例如，5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22⋅3=(3+2)2．
∴5+26=(3+2)2=________
(2)请仿照上例化简：11−230．
【变式10-1】（23-24九年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)文中的“根据1”是________，b=_______；
(2)根据上面的思路，化简：14−65；
(3)已知a+43=x+23，其中a，x均为正整数，求a和x的值．
【变式10-2】（23-24九年级下·河南信阳·阶段练习）(1)化简：6−25；
(2)计算：3−22+5−26+7−212+⋅⋅⋅+19−290．
【变式10-3】（23-24九年级下·江西新余·期中）化简：
(1)12−235；
(2)5−24；
(3)4+15+4−15．双层二次根式的化简
二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：化简3+22，先思考1+22=12+2×1×2+22=3+22（根据1）
3+32=12+2×1×2+22=1+22=1+2．
通过计算，我还发现设a+b2=m+n22=m+n2（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a=m2+2n2，b=_____．
这样，我就找到了一种把部分a+b2化简的方法．