2024-2025学年九年级数学上册专题21.1 一元二次方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.1 一元二次方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版），共20页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22281" 【题型1 辨别一元二次方程】 PAGEREF _Tc22281 \h 1
\l "_Tc30427" 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc30427 \h 3
\l "_Tc12392" 【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】 PAGEREF _Tc12392 \h 5
\l "_Tc15267" 【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】 PAGEREF _Tc15267 \h 6
\l "_Tc10614" 【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 PAGEREF _Tc10614 \h 8
\l "_Tc19426" 【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】 PAGEREF _Tc19426 \h 10
\l "_Tc4514" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 PAGEREF _Tc4514 \h 11
\l "_Tc10057" 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 PAGEREF _Tc10057 \h 14
\l "_Tc10188" 【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】 PAGEREF _Tc10188 \h 15
\l "_Tc16203" 【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】 PAGEREF _Tc16203 \h 18
知识点1：一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 辨别一元二次方程】
【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1B．ax2+bx+c=0C．3x+1x=0D．x2−2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．1x2−1=0B．x=5x2C．ax2+x−6=0 D．x(x+1)=5x−1
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．1x2−1=0中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x=5x2，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当a=0时，ax2+x−6=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．x(x+1)=5x−1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x−2x−3=0B．x+3x=4
C．ax2+bx+c=0D．−3x2+2x3=1
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. x−2x−3=0，整理可得x2−5x+6=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B. x+3x=4，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C. ax2+bx+c=0，仅当a≠0时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. −3x2+2x3=1，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2−1x=4，④x2=0．
A．①②B．①②④C．①③④D．①④
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：①3x2+x=20是一元二次方程；
②2x2−3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x2−1x=4不是整式方程，不是一元二次方程；
④x2=0是一元二次方程．
故选：D．
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程k−3xk−1+2k−3x+4=0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3B．3C．−3D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于x的方程(k−3)x|k|−1+(2k−3)x+4=0是一元二次方程，得
|k|−1=2且k−3≠0．
解得k=−3．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式2-1】（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程xa2−7−3x−2=0是一元二次方程，则a= ．
【答案】±3
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得a2−7=2，
解得：a=±3，
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程m+1xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．1B．−1C．0D．±1
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于m的方程和不等式，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵关于x的方程m+1xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，
∴ m+1≠0m2+1=2，
解得m=1．
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m= ．
【答案】4
【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则m−2=2，然后选出合适的值即可．
【详解】解：mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，
∴|m−2|=2，m≠0，
∴m=4或0，m≠0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．
【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a<0D．a为任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
【详解】解：∵方程ax2−x−1=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
故选：B．
【变式3-1】（23-24九年级上·北京大兴·期末）若(a−3)x2−3x−4=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠3
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】∵方程(a−3)x2−3x−4=0是关于x的一元二次方程，
∴a−3≠0，
解得a≠3．
故答案为：a≠3．
【变式3-2】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若方程(a-2)x2+ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范围是（ ）
A．a≠2B．a≥0C．a≥0且a≠ 2D．a为任意实数
【答案】C
【详解】试题分析：由于方程是一元二次方程，所以二次项系数必定不等于零，即a−2≠0，所以a≠2，又因为被开方式大于或者等于零，即a≥0，所以选C．
考点：一元二次方程的二次项不等于零，被开方式大于或者等于零
点评：这类题目在考试中一般出现于选择题，一元二次方程的各项系数确定，都要遵循一元二次方程的一般式，既然为一元二次方程，那么二次项系数必定存在，即二次项系数应该不为零，而被开方式大于或者等于零，由此可以确定a的取值范围．
【变式3-3】（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组m−4x>4x<3x+7有且仅有三个整数解，且关于y的方程m−2y2+my+1=0是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
【答案】8
【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有三个整数解确定出m的取值，再由关于y的方程m−2y2+my+1=0是一元二次方程，求出满足题意整数m的值，进而求出和．
【详解】m−4x>4①x<3x+7②，
由①得x由②得x>−72，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴−72即x可取−3,−2,−1，
∴−1∴0∵关于y的方程m−2y2+my+1=0是一元二次方程，
∴m−2≠0，解得m≠2，
∴0∴m=1,3,4，
∴1+3+4=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及一元二次方程的定义是解题的关键．
知识点2：一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。
【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】
【例4】（23-24九年级下·山东烟台·期中）一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，−4，−1B．3，4，1C．3，4，−1D．3，−1，−4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可．
【详解】解：一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数是3，一次项系数−4，常数项−1．
故选A．
【变式4-1】（23-24九年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A．x−12=4B．3x−22=27C．5x2−3x=0D．2x2+2x=8
【答案】C
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0a≠0，这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】A．x−12=4不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意；
B．3x−22=27不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意；
C．5x2−3x=0是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意；
D．2x2+2x=8不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式4-2】（23-24九年级上·甘肃天水·期中）将一元二次方程2(x+3)(x−4)=x2−10化成它的一般形式为 ．
【答案】x2−2x−14=0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，据此，对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程．
【详解】原方程去括号得，
2x2−8x+6x−24=x2−10，
移项，合并得：x2−2x−14=0，
故答案为：x2−2x−14=0．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程3x2+x−2=axx−2化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为−2，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5B．3C．−5D．−3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为ax2+bx+c=0a≠0，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案．
【详解】解：3x2+x−2=axx−2，
3x2+x−2=ax2−2ax，
3−ax2+1+2ax−2=0，
∵将关于x的一元二次方程3x2+x−2=axx−2化成一般形式后，其二次项系数为1，
∴3−a=1，
解得：a=2，
∴1+2a=1+2×2=5，
则该方程中的一次项系数为5，
故选A．
【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】
【例5】（23-24九年级·上海·假期作业）已知关于x方程−x2+mx−3m=5x的各项系数与常数项之和为2，求m的值．
【答案】m=−2
【分析】首先把关于x方程−x2+mx−3m=5x化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可．
【详解】解：整理方程得−x2+m−5x−3m=0，
化为一般形式即为x2+5−mx+3m=0，
方程的各项分别为x2，5−mx，3m，其中未知项系数分别为1，5−m，
依题意即有1+5−m+3m=2，
解得：m=−2．
【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
【变式5-1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程m+3x2+m2−5x−3=0的一次项系数为4，则m的值为（ ）
A．3B．0C．3或－3D．0或3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是m+3确定m+3≠0，另外一次项系数等于4，确定m2=9，据此解答．
【详解】解：∵一元二次方程m+3x2+m2−5x−3=0的一次项系数等于4，
∴m2−5=4
即m2=9，
∴m=3或m=−3．
又∵二次项系数不为0，
∴m+3≠0，
解得m≠−3，
∴m=3．
故选：A．
【变式5-2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．-3
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可．
【详解】解：方程x2+mx=3x+5化为一般形式为：x2+m−3x−5=0
由题意可得：m−3=0
解得m=3
故选：C
【变式5-3】（23-24九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程(2ax+1)(x−a)=a−2的二次项系数是−4，则a的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为：2ax2−2a2x+x−2a+2=0，得出2a=−4，求解即可得出答案．
【详解】解：∵(2ax+1)(x−a)=2ax2−2a2x+x−a=a−2，
∴一元二次方程为：2ax2−2a2x+x−2a+2=0，
根据题意可得：2a=−4，
解得：a=−2，
故答案为：−2．
知识点3：一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】
【例6】（23-24九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程x2+2x−1=0的一个根，则代数式a+12+aa+2的值= ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得a2+2a−1=0，从而可得a2+2a=1，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把a2+2a=1代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2+2x−1=0的一个根，
∴a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
∴a+12+aa+2=a2+2a+1+a2+2a=2a2+4a+1，
当a2+2a=1时，原式=2a2+2a+1=2×1+1=3．
故答案为：3．
【变式6-1】（23-24九年级上·黑龙江·期中）已知一元二次方程x2−4x+m=0有一个根为2，则m值为 ．
【答案】4
【分析】把x=2代入原方程，解方程即可．
【详解】解：一元二次方程x2−4x+m=0有一个根为2，
所以，22−4×2+m=0，
解得，m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解．
【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个根，则am2+bm−7的值为( )
A．-2B．1C．12D．-12
【答案】D
【分析】把x=m 代入已知方程，可得：am2+bm+5=0，则am2+bm=−5，将其整体代入所求的代数式进行解答即可．
【详解】解：由题意得：am2+bm+5=0，
∴am2+bm=−5，
∴am2+bm−7=−12，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法．
【变式6-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知a是方程x2−2022x+1=0的一个根，则a2−2021a+2022a2+1的值为 ．
【答案】2021
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把x=a代入方程x2−2022x+1=0中得：a2−2022a+1=0，从而可得a2+1=2022a,a2=2022a−1， a−2022+1a=0，进而可得a+1a=2022，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把x=a代入方程x2−2022x+1=0中得：a2−2022a+1=0，
∴a2+1=2022a,a2=2022a−1,a−2022+1a=0，
∴a+1a=2022，
∴a2−2021a+2022a2+1=2022a−1−2021a+20222022a=a−1+1a=2022−1=2021
故答案为：2021．
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】
【例7】（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，也可以将x3表示为x⋅x2=xpx−q=…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若x2+x−1=0，则x3+2x2+2023的值为（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
【答案】B
【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到x2=1−x，x2+x=1，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键．
【详解】∵x2+x−1=0，
∴x2=1−x，x2+x=1，
∴x3+2x2+2023
=x1−x+2x2+2023
=x−x2+2x2+2023
=x+x2+2023
=1+2023
=2024
故选：B．
【变式7-1】（23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】D
【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，则可表示出m3=2m-1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，
∴m2+m-1=0，
∴m2=-m+1，
∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1
∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式7-2】（23-24·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得m2+m=3，再将m2+m=3代入m2m+2−2m−3变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得：m2+m=3，
∵ m3+2m2−2m+6
=m3+m2+m2−2m+6
=mm2+m+m2−2m+6
=3m+m2−2m+6
=m2+m+6
=3+6
=9．
故答案为：9．
【变式7-3】（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，则a2−112a3−3a2+11的值等于 ．
【答案】121
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到a2−a−11=0，进而得到a2−a=11，a2−11=a，再把所求式子转化为a2aa2−a−a2−11，据此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个根，
∴a2−a−11=0，
∴a2−a=11，a2−11=a，
∴a2−112a3−3a2+11
=a2a3−2a2−a2−11
=a2aa2−a−a2−11
=a22a−a
=121，
故答案为：121．
【题型8 根据实际问题列一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A．5+5x+52=20B．51+x2=20
C．51+x3=20D．5+51+x+51+x2=20
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约51+x亿元、第三天票房约51+x2亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵第一天票房约5亿元，增长率为x，
∴第二天票房约51+x亿元，第三天票房约51+x2亿元．
依题意得：5+51+x+51+x2=20．
故选：D．
【变式8-1】（23-24·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A．30+x100−10x=3640B．30+x100+10x=3640
C．30−x100+10x=3640D．30−x100−10x=3640
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价x元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这款文创产品每件降价x元，
根据题意可列方程为：30−x100+10x=3640，
故选：C．
【变式8-2】（23-24·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．12n(n+1)=6B．12n(n−1)=6
C．n(n+1)=6D．n(n−1)=6
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的n−1支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答．
【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意，
可列方程为12n(n−1)=6；
故选：B．
【变式8-3】（23-24九年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+x−42=10x−4+x−4B．x2+x+42=10x+x−4−4
C．x2+x+42=10x+4+x−4D．x2+x+42=10x+x−4−4
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：x+10x+4，这两个数的平方和为：x2+x+42，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10x+4
这两个数的平方和为：x2+x+42，
∵两数相差4，
∴x2+x+42=x+10x+4−4．
故选：C．
【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】
【例9】（23-24九年级下·山东淄博·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为2022，则方程ax+12+bx+1=−5必有根为（ ）
A．2022B．2020C．2019D．2021
【答案】D
【分析】设t=x+1，即ax+12+bx+1=−5可改写为at2+bt+5=0，由题意关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为x=2022，即at2+bt+5=0有一个根为t=2022，所以x+1=2022，x=2021．
【详解】由ax+12+bx+1=−5得到ax+12+bx+1+5=0，
对于一元二次方程ax+12+bx+1=−5，
设t=x+1，
所以at2+bt+5=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为x=2022，
所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，
则x+1=2022，
解得x=2021，
所以一元二次方程ax+12+bx+1=−5有一根为x=2021．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2021，则一元二次方程ax−12+bx−b=−2必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【分析】对于一元二次方程ax−12+bx−1+2=0，设t=x−1得到at2+bt+2=0，利用at2+bt+2=0有一个根为t=2021得到x−1=2021，从而可判断一元二次方程ax−12+bx−1=−2必有一根为x=2022．
【详解】解：∵ax−12+bx−b=−2，
∴ax−12+bx−1+2=0，
设t=x−1，
∴at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根为x=2021，
∴at2+bt+2=0有一个根为t=2021，
则x−1=2021，
解得x=2022，
∴一元二次方程ax−12+bx−b=−2必有一根为x=2022．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式9-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
【答案】x1=3，x2=-8
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案为：x1=3，x2=-8
【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
【变式9-3】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程m(x−ℎ)2−k=0（m,ℎ,k均为常数，且m≠0）的解是x1=2，x2=5，则关于x的一元二次方程m(x−ℎ+3)2=k的解是 ．
【答案】x1=−1,x2=2
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令x+3=y，由题意得到(y−ℎ)2=km的解为y1=2,y2=5，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m(x−ℎ)2−k=0（m,ℎ,k均为常数，且m≠0）的解是x1=2,x2=5，即(x−ℎ)2=km的解为x1=2,x2=5；
令x+3=y，
∴关于x的一元二次方程m(x−ℎ+3)2=k化为m(y−ℎ)2=k，
∵ (x−ℎ)2=km的解为x1=2,x2=5，
∴ (y−ℎ)2=km的解为y1=2,y2=5，即x+3=2或x+3=5，
∴x1=−1,x2=2，
∴关于x的一元二次方程mx−ℎ+32=k的解是x1=−1,x2=2，
故答案为：x1=−1,x2=2．
【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】
【例10】（23-24九年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程m2−4x2+m−2x+3m−1=0．
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
【答案】(1)m=−2
(2)m≠±2
【详解】解：（1）由题意，得m2−4=0,m−2≠0,解得m=−2．
（2）由题意，得m2−4≠0，∴m≠±2．
【变式10-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）关于x的方程ax2+bx+c=0，有下列说法：①若a≠0，则方程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（ ）
A．①②均正确 B．①②均错 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】根据一元二次方程及一元一次方程的定义解答即可.
【详解】关于x的方程ax2+bx+c=0，①若a≠0，则方程必是一元二次方程，正确；②若a=0，b≠0，则方程是一元一次方程，错误；
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键.
【变式10-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于x的方程m+1xm+1+m−2x−1=0提出了下列问题：
(1)是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
(2)是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值．
【答案】(1)存在，m=0时x=−1；m=−1时x=−13
(2)存在，m=1
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知m+1=1或m+1=0或m+1=0时方程能为一元一次方程，
当m+1=1时，解得m=0，此时程为−x−1=0，解得x=−1；
当m+1=0时，解得m=−1，此时方程为−3x−1=0，解得x=−13．
当m+1=0时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得m+1=2m+1≠0，解得m=1．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
【变式10-3】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2k+1x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
【答案】(1) k=12;(2)﹣1≤k＜12或12＜k≤2．
【详解】试题分析：（1）因为方程为一元一次方程，所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0，令二次项系数1－2k＝0求出k的值即可；
（2）令△≥0，二次项系数不等于0，被开方式大于等于0进行解答即可．
试题解析：
（1）由(1﹣2k)x2﹣2k+1x﹣1＝0是一元一次方程，
得1﹣2k＝0，
解得k＝12；
（2）由(1﹣2k)x2﹣2k+1x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得
△＝(2k+1)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0，
4k＋4＋4(1﹣2k)≥0，
﹣4k≥﹣8，
k≤2，
即﹣1≤k＜12或12＜k≤2，
此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜12或12＜k≤2．
点睛：本题考查了一元二次方程，二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，二次项系数不等于零是一元二次方程，根的判别式大于或等于零时方程有实数根．