2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

这是一份2024-2025学年九年级数学上册专题21.3 根的判别式【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版），共7页。


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\l "_Tc11403" 【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc11403 \h 1
\l "_Tc15902" 【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc15902 \h 2
\l "_Tc25765" 【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc25765 \h 2
\l "_Tc23742" 【题型4 证明一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc23742 \h 3
\l "_Tc30999" 【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc30999 \h 3
\l "_Tc32524" 【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】 PAGEREF _Tc32524 \h 3
\l "_Tc24926" 【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】 PAGEREF _Tc24926 \h 4
\l "_Tc3653" 【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc3653 \h 4
\l "_Tc15020" 【题型9 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc15020 \h 5
\l "_Tc20500" 【题型10 一元二次方程中的多结论问题】 PAGEREF _Tc20500 \h 6
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−2x=0B．x2+4x−4=0C．x−22−3=0D．3x2+2=0
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
(2)当c+1=14b2时，请判别方程根的情况．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法不正确的是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
D．若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m<0且m≠−1B．m≥0
C．m≤0且m≠−1D．m<0
【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．2B．3C．4D．8
【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则m= ．
【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程k−1x2−x+14=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2B．k≤2且k≠1C．k>2D．k<2且k≠1
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】
【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程x−1x−2−m2=0．求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3mx+2m2+m−1=0．
(1)当m=2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是 ．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2−xy−yz−zx=27，则y−z的最大值为 .
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】
【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3m+2x+2m2+2m=0．
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2−k+2x+2k=0．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】
【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−k−3x+k−5=0．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．
【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)若AC的长为1，求m的值；
(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．
【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+m2=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）求正方形的面积．
【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，并且使得关于y的分式 方程3−ay3−y+1=2yy−3有整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+2a−1x+a=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组x−2y=3m−n,xy=n2−2m2+3n+4对每一个实数n都有实数解，那么正整数m的值为 ．
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1》，以下“共同体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
C．《n+1，2n，n−1》D．《m,m,m+1m》
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程6△x=k有两个相等实数根，则k的值为 .
【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤−94B．k≤−94且k≠0
C．k≥−94D．k≥−94且k≠0
【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0称为“全整根方程”，代数式4ac−b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac−b24a；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0p≠0也为“全整根方程”，其“最值码”记为Qp,q,r，当满足Qa,b,c−Qp,q,r=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是一元二次方程px2+qx+r=0p≠0的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−2m−1x+m2−2m−3=0（m为整数、且4(3)若关于x的一元二次方程x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1x−n=0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m−n的值．
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】
【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） ，下列说法：
①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一个根为x=2；
②当（a+c）2≤b2 （时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−6ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是 （填序号）
【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法正确的有（ ）
①若ac＞0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=2ax0+b2．
A．1个B．2 个C．3个D．4 个
【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax0−b)2
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个