2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（二）试卷（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（二）试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·郑州模拟)已知i为虚数单位,复数z满足zi-i=z+1,则|z+1|=( )
A.2B.1C.5D.2
【解析】选A.因为zi-i=z+1,则-z(1-i)=1+i,
所以z=-1+i1-i=-(1+i)2(1-i)(1+i)=-i,
故|z+1|=|1-i|=12+(-1)2=2,故A正确.
2.(2023·北京模拟)在△ABC中,若a=2bcs C,则△ABC一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.由a=2bcs C及余弦定理得:a=2b×a2+b2-c22ab⇒a2=a2+b2-c2⇒b2=c2,即b=c.
3.(2023·襄阳模拟)设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是( )
A.5π B.9π C.16π D.25π
【解析】选C.满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示:
所以,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.
4.(2024·江西模拟)已知向量a=(lg23,sin 4π3),b=(lg38,m),若a⊥b,则m=( )
A.-23B.-3C.23D.32
【解析】选C.因为a⊥b,所以a·b=0,
即lg23×lg38+msin 4π3=0,
所以lg28-32m=0,所以m=23.
【加练备选】
(2024·咸阳模拟)已知向量a=(1,-1),b=(m,2),若(a+b)∥a,则2a·b=( )
A.-8B.-7C.7D.8
【解析】选A.由向量a=(1,-1),b=(m,2),得a+b=(m+1,1),由(a+b)∥a,得(m+1)+1=0,
解得m=-2,于是b=(-2,2),所以2a·b=2×(-2-2)=-8.
5.(2024·西安模拟)已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2a-b|不超过3,则m的取值范围
为( )
A.[-3,3]B.[-5,5]
C.[-3,3]D.[-5,5]
【解析】选B.由题意知,2a-b=(-2,-m),
所以|2a-b|=4+m2≤3,得4+m2≤9,
即m2≤5,解得-5≤m≤5,
即实数m的取值范围为[-5,5].
6.将函数y=sin(2x-φ)的图象沿x轴向右平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可为( )
A.-π4B.π4C.π2D.3π4
【解析】选B.将函数y=sin(2x-φ)的图象沿x轴向右平移π8个单位后,
得到y=sin[2(x-π8)-φ]=sin(2x-π4-φ),若此时函数为偶函数的图象,则-π4-φ=kπ+π2,k∈Z,得φ=-kπ-3π4,k∈Z,当k=-1时,φ=π-3π4=π4.
7.已知向量a=(1,3),a+b=(-1,7),则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A. (-15,25) B.(-1,2)
C. (-5,25) D. (15,-25)
【解析】选B.由题知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a·b=-2+12=10.
又|b|=4+16=25,所以向量a在向量b方向上的投影向量为(-1,2).
8.(2024·贵州联考)如图,甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区,是该市的标志性建筑之一.甲秀楼上下三层,白石为栏,层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度,选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得
∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°,则甲秀楼的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.8)( )
A.20 mB.21 mC.22 mD.23 m
【解析】选C.由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,
所以∠CBD=127°,又因为CD=11.2 m,
由正弦定理CDsin∠CBD=CBsin∠CDB,
可得11.2sin127°=CBsin30°,解得CB≈7 m,
又因为∠ACB=72.4°,所以AB=BCtan∠ACB≈7×3.15≈22(m).
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2023·长沙模拟)已知复数z的共轭复数为z,则下列说法正确的是( )
A.z2=|z|2
B.z+z一定是实数
C.若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1·z2=0
D.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数
【解析】选BD.当复数z=i时,z2=-1,|z|2=1,故A错;
设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,
所以z+z=2a∈R,故B对;
设z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),由|z1+z2|=|z1-z2|可得
|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+b2)2=|z1-z2|2=(a1-a2)2+(b1-b2)2,所以a1a2+b1b2=0,
而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+b1a2)i=2a1a2+(a1b2+b1a2)i,不一定为0,故C错;
设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi为纯虚数.
所以a2-b2=02ab≠0,则|a|=|b|ab≠0,故D对.
10.(2024·潍坊模拟)已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,则下列选项正确的
是( )
A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底
B.m<3是a=(-1,3)与c=(m,1)夹角是锐角的充要条件
C.向量a与向量b的夹角是45°
D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(-1,3)
【解析】选AC.因为a=(-1,3),b=(x,2),
所以a-2b=(-1-2x,-1),
则(a-2b)·a=1+2x-3=0,
解得x=1,所以b=(1,2),
可得a,b不共线,故A正确;
当a,c平行时,
可得-1×1-3×m=0,解得m=-13,所以B错误;
由cs=a·b|a||b|=-1+6(-1)2+32×12+22=510×5=22,
因为0°≤≤180°,故向量a与向量b的夹角是45°,所以C正确;
向量b在向量a上的投影向量为a·b|a|·a|a|=510·(-1,3)10=(-12,32),所以D错误.
11.(2024·大连模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acs B+bsin A=c,
a=210,a2+b2-c2=absin C,则( )
A.tan C=2B.A=π3
C.b=62D.△ABC的面积为122
【解析】选AC.由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcs C=absin C,解得tan C=2,故A正确;
由acs B+bsin A=c及正弦定理,可得sin Acs B+sin Bsin A=sin C=sin(A+B),化简可得sin Bsin A=cs Asin B.
因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以sin A=cs A,即tan A=1.
因为A∈(0,π),所以A=π4,故B错误;
因为tan C=2,所以cs C>0且sin C=2cs C,代入sin2C+cs2C=1,
可得5cs2C=1,解得cs C=55,sin C=255.
因为a=210,A=π4,sin C=255,
所以由正弦定理可得c=asinCsinA=210×25522=8,
由a2+b2-c2=absin C,可得(210)2+b2-82=210b×255,
化简可得b2-42b-24=0,解得b=62或b=-22(舍去),故C正确;
S△ABC=12bcsin A=12×62×8×22=24,故D错误.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若复数z满足|z|=1,则|z2+(1-i)z|(i为虚数单位)的最小值为________.
答案:2-1
【解析】因为|z|=1,
所以z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心,以1为半径的圆,
又因为|z1z2|=|z1||z2|,
所以|z2+(1-i)z|=|z||z+1-i|=|z+1-i|=|z-(-1+i)|的几何意义为圆上的点到P(-1,1)的距离,如图,
所以|z2+(1-i)z|=|z-(-1+i)|的最小值为|OP|-1=(-1)2+12-1=2-1.
13.(2023·镇江模拟)在△ABC中,AB=3AD,点E是CD的中点.若存在实数λ,
μ使得=λ+,则λ+μ=__________(请用数字作答).
答案:23
【解析】因为E是CD的中点,
所以=+=+12
=+12(-)=12(+),
因为AB=3AD,所以=13,
所以=16+12,所以λ=16,μ=12,即λ+μ=16+12=23.
14.(2024·天津模拟)在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,=2,=λ(λ>0),=2,且||=72,则λ=________;·的值为________.
答案:32 -232
【解析】因为=2,=λ(λ>0),=2,
所以=12(+)=12(12+λ)=14+12λ,
又||=72,在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,
所以·=||·||cs∠BAC=2×2×(-12)=-2,= (14)2+λ4·+(λ2)2
=14-λ2+λ2=74,
即2λ2-λ-3=0,解得λ=32或λ=-1(舍去),
故λ的值为32.
又=+=-+λ,=+=-+12,
·=(-+λ)·(-+12)
=(1+λ2)·-12()2-λ()2=(1+λ2)(-2)-2-4λ=-4-5λ=-232,故·的值为-232.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2023·长春模拟)已知复数z=(m2-1)+(m2-m-2)i,m∈R.
(1)若z是纯虚数,求m的值;
【解析】(1)若z是纯虚数,
则m2-1=0m2-m-2≠0,
所以m=1,则m的值为1;
(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,求m的值;
【解析】(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,则m2-1-(m2-m-2)+1=0,解得m=-2;
(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围.
【解析】(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,则m2-1>0m2-m-2<0,
所以116.(15分)(2023·洛阳模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-2).
(1)求|a-b|;
【解析】(1)由题知,a=(1,2),b=(3,-2),
所以a-b=(-2,4),
所以|a-b|=4+16=25.
(2)已知|c|=10,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角.
【解析】(2)由题知,a=(1,2),|c|=10,(2a+c)⊥c,
所以|a|=5,(2a+c)·c=0,
所以2a·c+c2=0,
所以2|a||c|cs +|c|2=0,
所以2×5×10×cs +10=0,
所以cs =-22,
因为∈0,π,所以向量a与向量c的夹角为3π4.
17.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足
sin B+sin C=2sin Acs B.
(1)证明:a2-b2=bc;
【解析】(1)因为sin B+sin C=2sin Acs B,
由正弦定理可得b+c=2acs B,
再由余弦定理得b+c=2a·a2+c2-b22ac,
整理得a2-b2=bc.
(2)如图,点D在线段AB的延长线上,且|AB|=3,|BD|=1,当点C运动时,探究|CD|-|CA|是否为定值.
【解析】(2)因为∠ABC,∠CBD互补,
所以cs∠ABC+cs∠CBD=0,
结合余弦定理可得
a2+c2-b22ac+a2+|BD|2-|CD|22a·|BD|=0,
因为c=|AB|=3,|BD|=1,
则a2+9-b23+a2+1-|CD|21=0,
整理得4a2-b2+12-3|CD|2=0,
又a2=b2+bc=b2+3b,
则|CD|2=43a2-13b2+4=43(b2+3b)-13b2+4=b2+4b+4=(b+2)2,从而|CD|=b+2,
故|CD|-|CA|=2为定值.
18.(17分)已知向量a=(cs(-θ),sin(-θ)),b=(cs(π2-θ),sin(π2-θ)).
(1)求证:a⊥b;
【解析】(1)a=(cs(-θ),sin(-θ)),b=(cs(π2-θ),sin(π2-θ) ).
⇒a=(cs θ,-sin θ),b=(sin θ,cs θ)
⇒a·b=cs θsin θ-sin θcs θ=0,
故a⊥b.
(2)若存在不为0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb,满足x⊥y,试求此时k+t2t的最小值.
【解析】(2)显然|a|=|b|=cs2θ+sin 2θ=1,x⊥y⇒x·y=[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,
故可得-k|a|2+t(t2+3)|b|2+[t-k(t2+3)]a·b=0,
即-k+t(t2+3)=0⇒k=t(t2+3),
所以k+t2t=t2+t+3=(t+12)2+114,
所以当t=-12时,k+t2t取得最小值114.
19.(17分)(2024·衡阳模拟)在△ABC中,CD为AB边上的高,已知AC+BC=AB+CD.
(1)若AB=2CD,求tan C2的值;
【解析】(1)设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C所对的边,CD=h,则a+b=c+h.
在△ABC中,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=(a+b)2-c2-2ab2ab=(c+h)2-c22ab-1=h2+2ch2ab-1.
由12absin C=12ch,得ab=chsinC,
所以1+csCsinC=h2+2ch2ch=1+h2c.
因为AB=2CD,所以c=2h,于是1+csCsinC=1+h2c=54,
而tan C2=2sin C2cs C22cs2C2=sinC1+csC=45.
(2)若AB=kCD,k>0,求tan C的最小值及tan C取最小值时k的值.
【解析】(2)方法一:由(1)知,1+h2c=1tan C2.
如图,在△ABC中,过B作AB的垂线EB,且使EB=2h,
则CE=CB=a,则AC+CE=a+b≥AE=c2+4h2,
即(c+h)2≥c2+4h2,所以0于是1<1tan C2≤43,即34≤tan C2<1;
令函数y=2x1-x2,x∈(0,1),
则y=21x-x在(0,1)上单调递增,
所以tan C=2tan C21-tan2C2≥2×341-(34) 2=247,此时k=32.
故所求tan C的最小值为247,此时k的值为32.
方法二:由S=12absin C=12ch=12c(a+b-c),得sin A+sin B-sin C=sin A·sin B,
即sin A+sin B-sin(A+B)=sin A·sin B,
化简得1-csAsinA+1-csBsinB=1,
即tan A2+tan B2=1,
因为tan A2>0,tan B2>0,
所以0于是tan C2=1tan(A2+B2)=1-tan A2·tan B2≥34,即34≤tan C2<1,
令函数y=2x1-x2,x∈(0,1),
则y=21x-x在(0,1)上单调递增,
所以tan C=2tan C21-tan2C2≥2×341-(34) 2=247,此时k=32.
故所求tan C的最小值为247,此时k的值为32.