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黑龙江省哈尔滨市道外区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份黑龙江省哈尔滨市道外区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷（五四学制）（含解析），共23页。
A．B．xy＝1C．2x2﹣1＝0D．
2．（3分）若a＞b，则下列式子中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．C．a+2＞b+2D．﹣2a＞﹣2b
3．（3分）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，9cm
C．2cm，2cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
5．（3分）如图所示，在ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，若∠A＝75°，∠CBD＝35°，∠C的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
6．（3分）方程组的解为，则m、n的值分别为（ ）
A．4、5B．9、3C．9、﹣3D．﹣9、5
7．（3分）某校开展“共创文明班，书香满校园”的古诗文朗诵比赛，共有100位同学参加了初赛，按成绩将有50人进入复赛，如果宁宁同学知道了自己的成绩后，要判断自己是否能进入复赛，他需要知道这100位同学成绩的（ ）
A．方差B．众数
C．中位数D．加权平均数
8．（3分）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，点O为对角线AC、BD的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②AC、BD互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（每小题3分、共计27分）
10．（3分）把方程2x+y＝40，化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝ ．
11．（3分）三角形的外角和是 ．
12．（3分）x的2倍与5的差不小于3，用不等式表示为 ．
13．（3分）不等式组的负整数解是 ．
14．（3分）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点P（﹣2，a+b﹣c）在第 象限．
15．（3分）若方程mx﹣y＝3的一个解是，则m＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝30°，D是AC上一点将△ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C′处，则∠ADC′＝ °．
17．（3分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中∠α的变化情况，可以求得正十边形∠α度数为 °．
18．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥BC交CD延长线于点E，若EC＝AB，△ABC的面积是8．则BC＝ ．
三、解答题（共计6分）
19．（5分）解方程组．
20．（5分）解不等式组并在数轴上表示解集：
21．（6分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上．
（1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线BE；
（2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接BD、CD，使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等．（画出一种情况即可）
22．（6分）已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．
23．（7分）为增强学生的安全意识，某校教导处组织了一次“安全知识考试”本次考试共10道问题，考试结束后，教导处随机抽查了部分考生的试卷，对考生的答题情况进行分析统计发现所抽查的考卷中答对题里最少为7题，并绘制成如图所示的条形统计图，请回答下列问题：
（1）教导处抽查了 名考生的试卷；
（2）抽查的这部分考生每人答对题数的众数是： ；
（3）如果该校共有学生2000人，答对题目不少于8道为优秀，请你估计该校本次考试成绩为优秀的学生大约有多少人．
24．（7分）定义一种新的运算f：f（x）＝kx+b（k、b为常数，k≠0）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如f（2）＝2k+b．
（1）已知：f（3）＝﹣1，f（﹣3）＝﹣3，求k、b的值；
（2）在（1）的条件下，若f（m）＝2m，求m的值．
25．（10分）某机械加工厂甲、乙两个车间承担生产同一种零件的任务，两车间共有50人，甲车间平均每人每天生产零件30个，乙车间平均每人每天生产零件20个，两车间每天生产的零件总数为1300个．
（1）甲、乙两个车间各有多少人？
（2）该厂改进了生产技术，在甲、乙两车间总人数不变的情况下，从甲车间调出一部分人到乙车间，调整后甲车间平均每人每天生产零件35个，乙车间平均每人每天生产零件25个，若调整后两车间每天生产零件的总数不少于1480个，求甲车间最多调出多少人到乙车间？
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（m，0），B（0，2m）连接AB，m为不等式组的整数解．
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
（2）点C（t，0）在x轴负半轴上，连接BC，用含t的代数式表示△ABC的面积S；
（3）在（2）的条件下，若CD⊥AB，垂足为点D，OD平分∠AOB，求△ABC的面积．
27．（10分）如图1，已知：在△ACB与△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD、BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）如图2，已知AD、BE交点为F，连接CF，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3在（2）的条件下，若∠ACB＝90°，作AG⊥FC，交FC延长线于点G，AC平分∠GAF，且△ACF的面积为36，求AC的长度．
参考答案与试题解析
—、选择题（每小题3分．共计27分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的为（ ）
A．B．xy＝1C．2x2﹣1＝0D．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：x+＝1，符合二元一次方程的定义，A选项符合题意；
xy的次数不为1，B选项不符合题意；
2x2﹣1＝0中，2x2的次数不为1，C选项不符合题意；
2x+＝1中，变形后2xy的次数不为1，D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握并理解其定义是解题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列式子中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．C．a+2＞b+2D．﹣2a＞﹣2b
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a+2＞b+2，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，关键掌握（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．（3分）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4，就是此组数据的平均数．
【解答】解：（2+3+5+6）÷4＝4
答：这组数据的平均数是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，9cm
C．2cm，2cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+3＜6，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、4+5＝9，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2＜5，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
5．（3分）如图所示，在ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，若∠A＝75°，∠CBD＝35°，∠C的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
【分析】根据角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵BD平分ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣70°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）方程组的解为，则m、n的值分别为（ ）
A．4、5B．9、3C．9、﹣3D．﹣9、5
【分析】把，代入方程组即可求出m、n的值．
【解答】解：把，代入方程组得，
，
即，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
7．（3分）某校开展“共创文明班，书香满校园”的古诗文朗诵比赛，共有100位同学参加了初赛，按成绩将有50人进入复赛，如果宁宁同学知道了自己的成绩后，要判断自己是否能进入复赛，他需要知道这100位同学成绩的（ ）
A．方差B．众数
C．中位数D．加权平均数
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有100个人，要判断是否进入前50名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计量的选择，加权平均数，中位数，众数，方差，解答本题的关键是熟练掌握中位数的意义．
8．（3分）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根据作图痕迹可知OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等可得结论．
【解答】解：在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用全等三角形的性质解决问题．
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，点O为对角线AC、BD的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②AC、BD互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①依据“SSS”可判定△ABC和△ADC全等，从而得∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，然后可依据“SAS”判定△AOB和△AOD全等，△COB和△COD全等，由此可对结论①进行判断；
②根据△AOB≌△AOD得OB＝OD，由于AB≠BC，因此无法判定△BAO和△BCO是否全等，则不能得出BD平分AC，故此可对结论②进行判断；
③根据△AOB≌△AOD得AC⊥BD，则S△ABD＝BD•AO，S△CBD＝BD•CO，由此的S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD•AC，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
同理：△COB≌△COD（SAS），
因此图中有三对全等三角形，
故结论①正确；
②∵△AOB≌△AOD，
∴OB＝OD，
∵AB≠BC，
∴无法判定△BAO和△BCO是否全等，
∴无法判定BD平分OA，
故结论②不正确；
③∵△AOB≌△AOD，
∴∠AOB＝∠AOD，
∵∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
即AC⊥BD，
∴S△ABD＝BD•AO，S△CBD＝BD•CO，
∴S△ABD+S△CBD＝BD•（AO+CO）＝BD•AC，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC•BD，
∴S△BCD≠AC•BD．
故结论③不正确，
综上所述，错误的结论是②③，共2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分、共计27分）
10．（3分）把方程2x+y＝40，化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝ ﹣2x+40 ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+y＝40，
解得：y＝﹣2x+40，
故答案为：﹣2x+40．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
11．（3分）三角形的外角和是 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．
【解答】解：三角形的外角和是360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
12．（3分）x的2倍与5的差不小于3，用不等式表示为 2x﹣5≥3 ．
【分析】首先表示为x的2倍为“2x”，再表示“与5的差”为2x﹣5，最后表示“小于3”即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣5≥3，
故答案为：2x﹣5≥3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．（3分）不等式组的负整数解是 ﹣1 ．
【分析】根据不等式组的解集，找出不等式的负整数解即可．
【解答】解：不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
所以负整数解为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式的负整数解是解此题的关键．
14．（3分）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点P（﹣2，a+b﹣c）在第 二 象限．
【分析】首先根据三角形的三边关系判断点P的横、纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可．
【解答】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，
∴a+b﹣c＞0，
∴点P（﹣2，a+b﹣c）在第二象限，
故答案为：二．
【点评】考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，利用三角形的三边关系确定横、纵坐标的符号是解答本题的关键．
15．（3分）若方程mx﹣y＝3的一个解是，则m＝ ﹣2 ．
【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：把代入方程，得：﹣2m﹣1＝3，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义，理解定义是关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝30°，D是AC上一点将△ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C′处，则∠ADC′＝ 40 °．
【分析】根据折叠的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，∠A＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°，
∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，
∴∠CBD＝∠C′BD＝∠ABC＝40°，∠C′DB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠C′DB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠ADC′＝180°﹣∠C′DB﹣∠CDB＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（3分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中∠α的变化情况，可以求得正十边形∠α度数为 18 °．
【分析】根据正多边形与圆的性质得出∠α的大小等于正多边形中心角度数的一半即可．
【解答】解：如图，正三角形ABC中，∠α＝∠AOC＝×＝60°，
正方形ABCD中，∠α＝∠AOD＝×＝45°，
正五边形ABCDE中，∠α＝∠AOB＝×＝54°，
正六边形ABCDEF中，∠α＝∠AOB＝×＝30°，
……
所以正十边形中，∠α＝×＝18°，
故答案为：18．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正多边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥BC交CD延长线于点E，若EC＝AB，△ABC的面积是8．则BC＝ 4 ．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据全等三角形的判定与性质，证得AF＝BC，再根据三角形面积公式求出BC即可．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F．
∵AF⊥BC，CD⊥AB，BE⊥BC，
∴∠AFB＝∠CDB＝∠CBE＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠ECB+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠ECB，
在Rt△BAF和Rt△ECB中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△ECB（AAS），
∴AF＝BC，
∴S△ABC＝BC•AF＝BC2＝8，解得BC＝4或BC＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴BC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质有三角形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（共计6分）
19．（5分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×3﹣②得：2x＝8，
解得：x＝4，
把x＝4代入①得，8+y＝5，
解得：y＝﹣3，
则原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（5分）解不等式组并在数轴上表示解集：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≥1，得：x≥1，
解不等式3x﹣1≤9，得：x≤，
则不等式组的解集为1≤x≤，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上．
（1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线BE；
（2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接BD、CD，使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等．（画出一种情况即可）
【分析】（1）根据三角形中线定义画出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，中线BE即为所求；
（2）如图2中，△BCD即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（6分）已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．
【分析】根据平行证出∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再根据BE＝CF得到BC＝EF，然后证明△ABC和△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，根据平行线的性质证明角相等是证明三角形全等的前提．
23．（7分）为增强学生的安全意识，某校教导处组织了一次“安全知识考试”本次考试共10道问题，考试结束后，教导处随机抽查了部分考生的试卷，对考生的答题情况进行分析统计发现所抽查的考卷中答对题里最少为7题，并绘制成如图所示的条形统计图，请回答下列问题：
（1）教导处抽查了 20 名考生的试卷；
（2）抽查的这部分考生每人答对题数的众数是： 8 ；
（3）如果该校共有学生2000人，答对题目不少于8道为优秀，请你估计该校本次考试成绩为优秀的学生大约有多少人．
【分析】（1）结合条形统计图中答对题数的频数可得答案；
（2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答；
（3）用2000乘以答对题目不少于8道的人数占比即可．
【解答】解：（1）4+8+6+2＝20（名），
答：教导处抽查了20名考生的试卷．
故答案为：20；
（2）∵8出现的次数最多，
∴抽查的这部分考生每人答对题数的众数是8．
故答案为：8；
（3）（人），
答：估计该校本次考试成绩优秀的学生大约有1600人．
【点评】本题考查了条形统计图，解题的关键结合统计图正确获取解题信息．
24．（7分）定义一种新的运算f：f（x）＝kx+b（k、b为常数，k≠0）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如f（2）＝2k+b．
（1）已知：f（3）＝﹣1，f（﹣3）＝﹣3，求k、b的值；
（2）在（1）的条件下，若f（m）＝2m，求m的值．
【分析】（1）根据新定义得出3k+b＝﹣1，﹣3k+b＝﹣3，即可求出k、b的值；
（2）由（1）得f（x）＝，结合已知得到，即可求出m的值．
【解答】解：（1）由f（3）＝﹣1得3k+b＝﹣1，
由f（﹣3）＝﹣3得﹣3k+b＝﹣3，
联立得，
解得：；
（2）由（1）得f（x）＝，
∵f（m）＝2m，
∴，
解得
【点评】本题考查了代数式求值，理解新定义规定的运算是解题的关键．
25．（10分）某机械加工厂甲、乙两个车间承担生产同一种零件的任务，两车间共有50人，甲车间平均每人每天生产零件30个，乙车间平均每人每天生产零件20个，两车间每天生产的零件总数为1300个．
（1）甲、乙两个车间各有多少人？
（2）该厂改进了生产技术，在甲、乙两车间总人数不变的情况下，从甲车间调出一部分人到乙车间，调整后甲车间平均每人每天生产零件35个，乙车间平均每人每天生产零件25个，若调整后两车间每天生产零件的总数不少于1480个，求甲车间最多调出多少人到乙车间？
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为1300个列方程组成方程组解决问题；
（2）设从甲车间调出a人到乙车间，表示出两个车间的人数，根据生产零件总数之和不少于1480个，列出不等式求得即可．
【解答】解：（1）设甲车间有x人，乙车间有y人，由题意得，
，
解得：，
答：甲车间有30人，乙车间有20人．
（2）设从甲车间调出a人到乙车间，则甲车间有（30﹣a）人，乙车间有（20+a）人，
35（30﹣a）+25（20+a）≥1480，
解得：a≤7，
答：从甲车间最多调出7人到乙车间．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（m，0），B（0，2m）连接AB，m为不等式组的整数解．
（1）点A的坐标为 （3，0） ；点B的坐标为 （0，6） ；
（2）点C（t，0）在x轴负半轴上，连接BC，用含t的代数式表示△ABC的面积S；
（3）在（2）的条件下，若CD⊥AB，垂足为点D，OD平分∠AOB，求△ABC的面积．
【分析】（1）解不等式组得到m＝3，求得A（3，0），B（0，6）；
（2）由点C（t，0），得到AC＝3﹣t，根据三角形的面积公式即可得到＝9﹣3t；
（3）作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式列方程得到DE＝DF＝2，求得D（2，2）根据全等三角形的性质得到CE＝BF＝6﹣2＝4，求得OC＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）解不等式组得2＜m＜4，
∴m是整数，
∴m＝3，
∴A（3，0），B（0，6）；
故答案为：（3，0），（0，6）；
（2）①∵点C（t，0），
∴AC＝3﹣t，
∴＝9﹣3t；
（3）作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，
∵OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵S△AOB＝S△AOD+S△BOD，
×3×6＝×3DE+×6DF，
∴DE＝DF＝2，
∴D（2，2）
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ABO＝∠ACD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴CE＝BF＝6﹣2＝4，
∴OC＝2，
∴AC＝OC+OA＝6，
∴△ABC面积为＝×5×6＝15．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）如图1，已知：在△ACB与△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD、BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）如图2，已知AD、BE交点为F，连接CF，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3在（2）的条件下，若∠ACB＝90°，作AG⊥FC，交FC延长线于点G，AC平分∠GAF，且△ACF的面积为36，求AC的长度．
【分析】（1）根据角的和差得到∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）作CM⊥AD于点M，作CN⊥BE于点N，根据全等三角形的性质得到∠CAM＝∠CBN，求得△ACM≌△BCN（AAS），得到CM＝CN，根据角平分线的定义得到CF平分∠AFE；
（3）作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，得到∠AMC＝∠BNC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，推出△AGF是等腰直角三角形，得到AG＝FG，作FP⊥AC于点P，交AG延长线于点Q，根据全等三角形的性质得到PQ＝PF，得到QF＝2FP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：作CM⊥AD于点M，作CN⊥BE于点N，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
又∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CF平分∠AFE；
（3）解：∵∠AFC＝∠FCD+∠FDC，
∴∠AFE＝∠AFC+∠EFC＝∠ADC+∠CDE+∠DEB
＝∠BEC+∠BED+∠CDE
＝180°﹣∠ECD＝90°，
作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CF平分∠AFE，
∴∠ACG＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG，
作FP⊥AC于点P，交AG延长线于点Q，
∵AC平分∠GAF，
∴∠QAP＝∠FAP，
∵∠APQ＝∠APF，AP＝AP，
∴△AFP≌△AQP（ASA），
∴PQ＝PF，
∴QF＝2FP，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF＝∠FPC＝90°，
∵∠ACG＝∠FCP，
∴∠GAC＝∠CFP，
∴△FGQ≌△AGC（ASA），
∴AC＝FQ，
∴S△ACF＝＝×2FP•FP＝36，
∴FP＝6，
∴AC＝2FP＝12．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D′；
④过点D′画射线O′B′．
则∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D′；
④过点D′画射线O′B′．
则∠A′O′B′＝∠AOB．
A．B．xy＝1C．2x2﹣1＝0D．
2．（3分）若a＞b，则下列式子中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．C．a+2＞b+2D．﹣2a＞﹣2b
3．（3分）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，9cm
C．2cm，2cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
5．（3分）如图所示，在ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，若∠A＝75°，∠CBD＝35°，∠C的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
6．（3分）方程组的解为，则m、n的值分别为（ ）
A．4、5B．9、3C．9、﹣3D．﹣9、5
7．（3分）某校开展“共创文明班，书香满校园”的古诗文朗诵比赛，共有100位同学参加了初赛，按成绩将有50人进入复赛，如果宁宁同学知道了自己的成绩后，要判断自己是否能进入复赛，他需要知道这100位同学成绩的（ ）
A．方差B．众数
C．中位数D．加权平均数
8．（3分）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，点O为对角线AC、BD的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②AC、BD互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（每小题3分、共计27分）
10．（3分）把方程2x+y＝40，化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝ ．
11．（3分）三角形的外角和是 ．
12．（3分）x的2倍与5的差不小于3，用不等式表示为 ．
13．（3分）不等式组的负整数解是 ．
14．（3分）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点P（﹣2，a+b﹣c）在第 象限．
15．（3分）若方程mx﹣y＝3的一个解是，则m＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝30°，D是AC上一点将△ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C′处，则∠ADC′＝ °．
17．（3分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中∠α的变化情况，可以求得正十边形∠α度数为 °．
18．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥BC交CD延长线于点E，若EC＝AB，△ABC的面积是8．则BC＝ ．
三、解答题（共计6分）
19．（5分）解方程组．
20．（5分）解不等式组并在数轴上表示解集：
21．（6分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上．
（1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线BE；
（2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接BD、CD，使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等．（画出一种情况即可）
22．（6分）已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．
23．（7分）为增强学生的安全意识，某校教导处组织了一次“安全知识考试”本次考试共10道问题，考试结束后，教导处随机抽查了部分考生的试卷，对考生的答题情况进行分析统计发现所抽查的考卷中答对题里最少为7题，并绘制成如图所示的条形统计图，请回答下列问题：
（1）教导处抽查了 名考生的试卷；
（2）抽查的这部分考生每人答对题数的众数是： ；
（3）如果该校共有学生2000人，答对题目不少于8道为优秀，请你估计该校本次考试成绩为优秀的学生大约有多少人．
24．（7分）定义一种新的运算f：f（x）＝kx+b（k、b为常数，k≠0）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如f（2）＝2k+b．
（1）已知：f（3）＝﹣1，f（﹣3）＝﹣3，求k、b的值；
（2）在（1）的条件下，若f（m）＝2m，求m的值．
25．（10分）某机械加工厂甲、乙两个车间承担生产同一种零件的任务，两车间共有50人，甲车间平均每人每天生产零件30个，乙车间平均每人每天生产零件20个，两车间每天生产的零件总数为1300个．
（1）甲、乙两个车间各有多少人？
（2）该厂改进了生产技术，在甲、乙两车间总人数不变的情况下，从甲车间调出一部分人到乙车间，调整后甲车间平均每人每天生产零件35个，乙车间平均每人每天生产零件25个，若调整后两车间每天生产零件的总数不少于1480个，求甲车间最多调出多少人到乙车间？
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（m，0），B（0，2m）连接AB，m为不等式组的整数解．
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
（2）点C（t，0）在x轴负半轴上，连接BC，用含t的代数式表示△ABC的面积S；
（3）在（2）的条件下，若CD⊥AB，垂足为点D，OD平分∠AOB，求△ABC的面积．
27．（10分）如图1，已知：在△ACB与△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD、BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）如图2，已知AD、BE交点为F，连接CF，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3在（2）的条件下，若∠ACB＝90°，作AG⊥FC，交FC延长线于点G，AC平分∠GAF，且△ACF的面积为36，求AC的长度．
参考答案与试题解析
—、选择题（每小题3分．共计27分）
1．（3分）下列方程中是二元一次方程的为（ ）
A．B．xy＝1C．2x2﹣1＝0D．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：x+＝1，符合二元一次方程的定义，A选项符合题意；
xy的次数不为1，B选项不符合题意；
2x2﹣1＝0中，2x2的次数不为1，C选项不符合题意；
2x+＝1中，变形后2xy的次数不为1，D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握并理解其定义是解题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列式子中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．C．a+2＞b+2D．﹣2a＞﹣2b
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴＞，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a+2＞b+2，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，关键掌握（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．（3分）已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4，就是此组数据的平均数．
【解答】解：（2+3+5+6）÷4＝4
答：这组数据的平均数是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4．
4．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，9cm
C．2cm，2cm，5cmD．3cm，4cm，5cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+3＜6，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、4+5＝9，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+2＜5，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
5．（3分）如图所示，在ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，若∠A＝75°，∠CBD＝35°，∠C的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．45°
【分析】根据角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵BD平分ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣70°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）方程组的解为，则m、n的值分别为（ ）
A．4、5B．9、3C．9、﹣3D．﹣9、5
【分析】把，代入方程组即可求出m、n的值．
【解答】解：把，代入方程组得，
，
即，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
7．（3分）某校开展“共创文明班，书香满校园”的古诗文朗诵比赛，共有100位同学参加了初赛，按成绩将有50人进入复赛，如果宁宁同学知道了自己的成绩后，要判断自己是否能进入复赛，他需要知道这100位同学成绩的（ ）
A．方差B．众数
C．中位数D．加权平均数
【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有100个人，要判断是否进入前50名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计量的选择，加权平均数，中位数，众数，方差，解答本题的关键是熟练掌握中位数的意义．
8．（3分）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根据作图痕迹可知OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等可得结论．
【解答】解：在△COD和△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用全等三角形的性质解决问题．
9．（3分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，点O为对角线AC、BD的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②AC、BD互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①依据“SSS”可判定△ABC和△ADC全等，从而得∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，然后可依据“SAS”判定△AOB和△AOD全等，△COB和△COD全等，由此可对结论①进行判断；
②根据△AOB≌△AOD得OB＝OD，由于AB≠BC，因此无法判定△BAO和△BCO是否全等，则不能得出BD平分AC，故此可对结论②进行判断；
③根据△AOB≌△AOD得AC⊥BD，则S△ABD＝BD•AO，S△CBD＝BD•CO，由此的S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD•AC，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAO＝∠DAO，∠BCO＝∠DCO，
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
同理：△COB≌△COD（SAS），
因此图中有三对全等三角形，
故结论①正确；
②∵△AOB≌△AOD，
∴OB＝OD，
∵AB≠BC，
∴无法判定△BAO和△BCO是否全等，
∴无法判定BD平分OA，
故结论②不正确；
③∵△AOB≌△AOD，
∴∠AOB＝∠AOD，
∵∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
即AC⊥BD，
∴S△ABD＝BD•AO，S△CBD＝BD•CO，
∴S△ABD+S△CBD＝BD•（AO+CO）＝BD•AC，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC•BD，
∴S△BCD≠AC•BD．
故结论③不正确，
综上所述，错误的结论是②③，共2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分、共计27分）
10．（3分）把方程2x+y＝40，化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝ ﹣2x+40 ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+y＝40，
解得：y＝﹣2x+40，
故答案为：﹣2x+40．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
11．（3分）三角形的外角和是 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．
【解答】解：三角形的外角和是360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
12．（3分）x的2倍与5的差不小于3，用不等式表示为 2x﹣5≥3 ．
【分析】首先表示为x的2倍为“2x”，再表示“与5的差”为2x﹣5，最后表示“小于3”即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣5≥3，
故答案为：2x﹣5≥3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．（3分）不等式组的负整数解是 ﹣1 ．
【分析】根据不等式组的解集，找出不等式的负整数解即可．
【解答】解：不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
所以负整数解为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式的负整数解是解此题的关键．
14．（3分）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点P（﹣2，a+b﹣c）在第 二 象限．
【分析】首先根据三角形的三边关系判断点P的横、纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可．
【解答】解：∵a、b、c为一个三角形的三边，
∴a+b﹣c＞0，
∴点P（﹣2，a+b﹣c）在第二象限，
故答案为：二．
【点评】考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，利用三角形的三边关系确定横、纵坐标的符号是解答本题的关键．
15．（3分）若方程mx﹣y＝3的一个解是，则m＝ ﹣2 ．
【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：把代入方程，得：﹣2m﹣1＝3，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义，理解定义是关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝30°，D是AC上一点将△ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C′处，则∠ADC′＝ 40 °．
【分析】根据折叠的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，∠A＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°，
∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，
∴∠CBD＝∠C′BD＝∠ABC＝40°，∠C′DB＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠C′DB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠ADC′＝180°﹣∠C′DB﹣∠CDB＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17．（3分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，根据每个正多边形中∠α的变化情况，可以求得正十边形∠α度数为 18 °．
【分析】根据正多边形与圆的性质得出∠α的大小等于正多边形中心角度数的一半即可．
【解答】解：如图，正三角形ABC中，∠α＝∠AOC＝×＝60°，
正方形ABCD中，∠α＝∠AOD＝×＝45°，
正五边形ABCDE中，∠α＝∠AOB＝×＝54°，
正六边形ABCDEF中，∠α＝∠AOB＝×＝30°，
……
所以正十边形中，∠α＝×＝18°，
故答案为：18．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正多边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥BC交CD延长线于点E，若EC＝AB，△ABC的面积是8．则BC＝ 4 ．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据全等三角形的判定与性质，证得AF＝BC，再根据三角形面积公式求出BC即可．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F．
∵AF⊥BC，CD⊥AB，BE⊥BC，
∴∠AFB＝∠CDB＝∠CBE＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠ECB+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠ECB，
在Rt△BAF和Rt△ECB中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△ECB（AAS），
∴AF＝BC，
∴S△ABC＝BC•AF＝BC2＝8，解得BC＝4或BC＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴BC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质有三角形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（共计6分）
19．（5分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×3﹣②得：2x＝8，
解得：x＝4，
把x＝4代入①得，8+y＝5，
解得：y＝﹣3，
则原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（5分）解不等式组并在数轴上表示解集：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≥1，得：x≥1，
解不等式3x﹣1≤9，得：x≤，
则不等式组的解集为1≤x≤，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上．
（1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线BE；
（2）在图2中，在小正方形的顶点上找到一点D，连接BD、CD，使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等．（画出一种情况即可）
【分析】（1）根据三角形中线定义画出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，中线BE即为所求；
（2）如图2中，△BCD即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（6分）已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．
【分析】根据平行证出∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再根据BE＝CF得到BC＝EF，然后证明△ABC和△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，根据平行线的性质证明角相等是证明三角形全等的前提．
23．（7分）为增强学生的安全意识，某校教导处组织了一次“安全知识考试”本次考试共10道问题，考试结束后，教导处随机抽查了部分考生的试卷，对考生的答题情况进行分析统计发现所抽查的考卷中答对题里最少为7题，并绘制成如图所示的条形统计图，请回答下列问题：
（1）教导处抽查了 20 名考生的试卷；
（2）抽查的这部分考生每人答对题数的众数是： 8 ；
（3）如果该校共有学生2000人，答对题目不少于8道为优秀，请你估计该校本次考试成绩为优秀的学生大约有多少人．
【分析】（1）结合条形统计图中答对题数的频数可得答案；
（2）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答；
（3）用2000乘以答对题目不少于8道的人数占比即可．
【解答】解：（1）4+8+6+2＝20（名），
答：教导处抽查了20名考生的试卷．
故答案为：20；
（2）∵8出现的次数最多，
∴抽查的这部分考生每人答对题数的众数是8．
故答案为：8；
（3）（人），
答：估计该校本次考试成绩优秀的学生大约有1600人．
【点评】本题考查了条形统计图，解题的关键结合统计图正确获取解题信息．
24．（7分）定义一种新的运算f：f（x）＝kx+b（k、b为常数，k≠0）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如f（2）＝2k+b．
（1）已知：f（3）＝﹣1，f（﹣3）＝﹣3，求k、b的值；
（2）在（1）的条件下，若f（m）＝2m，求m的值．
【分析】（1）根据新定义得出3k+b＝﹣1，﹣3k+b＝﹣3，即可求出k、b的值；
（2）由（1）得f（x）＝，结合已知得到，即可求出m的值．
【解答】解：（1）由f（3）＝﹣1得3k+b＝﹣1，
由f（﹣3）＝﹣3得﹣3k+b＝﹣3，
联立得，
解得：；
（2）由（1）得f（x）＝，
∵f（m）＝2m，
∴，
解得
【点评】本题考查了代数式求值，理解新定义规定的运算是解题的关键．
25．（10分）某机械加工厂甲、乙两个车间承担生产同一种零件的任务，两车间共有50人，甲车间平均每人每天生产零件30个，乙车间平均每人每天生产零件20个，两车间每天生产的零件总数为1300个．
（1）甲、乙两个车间各有多少人？
（2）该厂改进了生产技术，在甲、乙两车间总人数不变的情况下，从甲车间调出一部分人到乙车间，调整后甲车间平均每人每天生产零件35个，乙车间平均每人每天生产零件25个，若调整后两车间每天生产零件的总数不少于1480个，求甲车间最多调出多少人到乙车间？
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为1300个列方程组成方程组解决问题；
（2）设从甲车间调出a人到乙车间，表示出两个车间的人数，根据生产零件总数之和不少于1480个，列出不等式求得即可．
【解答】解：（1）设甲车间有x人，乙车间有y人，由题意得，
，
解得：，
答：甲车间有30人，乙车间有20人．
（2）设从甲车间调出a人到乙车间，则甲车间有（30﹣a）人，乙车间有（20+a）人，
35（30﹣a）+25（20+a）≥1480，
解得：a≤7，
答：从甲车间最多调出7人到乙车间．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（m，0），B（0，2m）连接AB，m为不等式组的整数解．
（1）点A的坐标为 （3，0） ；点B的坐标为 （0，6） ；
（2）点C（t，0）在x轴负半轴上，连接BC，用含t的代数式表示△ABC的面积S；
（3）在（2）的条件下，若CD⊥AB，垂足为点D，OD平分∠AOB，求△ABC的面积．
【分析】（1）解不等式组得到m＝3，求得A（3，0），B（0，6）；
（2）由点C（t，0），得到AC＝3﹣t，根据三角形的面积公式即可得到＝9﹣3t；
（3）作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式列方程得到DE＝DF＝2，求得D（2，2）根据全等三角形的性质得到CE＝BF＝6﹣2＝4，求得OC＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）解不等式组得2＜m＜4，
∴m是整数，
∴m＝3，
∴A（3，0），B（0，6）；
故答案为：（3，0），（0，6）；
（2）①∵点C（t，0），
∴AC＝3﹣t，
∴＝9﹣3t；
（3）作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，
∵OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵S△AOB＝S△AOD+S△BOD，
×3×6＝×3DE+×6DF，
∴DE＝DF＝2，
∴D（2，2）
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ABO＝∠ACD，
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴CE＝BF＝6﹣2＝4，
∴OC＝2，
∴AC＝OC+OA＝6，
∴△ABC面积为＝×5×6＝15．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）如图1，已知：在△ACB与△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD、BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）如图2，已知AD、BE交点为F，连接CF，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3在（2）的条件下，若∠ACB＝90°，作AG⊥FC，交FC延长线于点G，AC平分∠GAF，且△ACF的面积为36，求AC的长度．
【分析】（1）根据角的和差得到∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）作CM⊥AD于点M，作CN⊥BE于点N，根据全等三角形的性质得到∠CAM＝∠CBN，求得△ACM≌△BCN（AAS），得到CM＝CN，根据角平分线的定义得到CF平分∠AFE；
（3）作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，得到∠AMC＝∠BNC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBN，根据全等三角形的性质得到CM＝CN，推出△AGF是等腰直角三角形，得到AG＝FG，作FP⊥AC于点P，交AG延长线于点Q，根据全等三角形的性质得到PQ＝PF，得到QF＝2FP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：作CM⊥AD于点M，作CN⊥BE于点N，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
又∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CF平分∠AFE；
（3）解：∵∠AFC＝∠FCD+∠FDC，
∴∠AFE＝∠AFC+∠EFC＝∠ADC+∠CDE+∠DEB
＝∠BEC+∠BED+∠CDE
＝180°﹣∠ECD＝90°，
作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBN，
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴CF平分∠AFE，
∴∠ACG＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG，
作FP⊥AC于点P，交AG延长线于点Q，
∵AC平分∠GAF，
∴∠QAP＝∠FAP，
∵∠APQ＝∠APF，AP＝AP，
∴△AFP≌△AQP（ASA），
∴PQ＝PF，
∴QF＝2FP，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF＝∠FPC＝90°，
∵∠ACG＝∠FCP，
∴∠GAC＝∠CFP，
∴△FGQ≌△AGC（ASA），
∴AC＝FQ，
∴S△ACF＝＝×2FP•FP＝36，
∴FP＝6，
∴AC＝2FP＝12．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D′；
④过点D′画射线O′B′．
则∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D′；
④过点D′画射线O′B′．
则∠A′O′B′＝∠AOB．
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