辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）据医学研究：猴痘病毒的平均直径约为0.00000023米，0.00000023米用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×10﹣7米B．2.3×10﹣8米
C．2.3×10﹣9米D．2.3×10﹣10米
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．391人中至少有两人的生日在同一天
B．抛掷一次硬币反面一定朝上
C．任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数
D．某种彩票的中奖率为0.1%，购买1000张彩票一定能中奖
5．（3分）如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．54°D．64°
6．（3分）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性
7．（3分）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形
9．（3分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s表示路程，t表示时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（ ）
A．12B．8C．6D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）40°的余角是 °．
12．（3分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．
13．（3分）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是 ．
14．（3分）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OA于M，PM＝8，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，△AED和△ABD关于直线AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F，连接EF，当△DEF为等腰三角形时，∠EDF的度数为 °．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x．
17．（8分）先化简，再求值：（3x+y）（x﹣y）+（2xy3﹣6x3y）÷2xy，其中x＝3，y＝﹣1．
18．（8分）如图，已知：直线l1∥l2，直线AB分别交l1、l2于点A、B．
（1）实践与操作：作线段AB的垂直平分线，分别交l1、l2于点C、D，交AB点O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）猜想与证明：试猜想线段AC和BD的数量关系，并说明理由．
19．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E为边AB上一动点，连接CE，随着点E的运动△BCE的面积也发生变化．
（1）求△BCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
20．（8分）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）．
（2）该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠CBA，连接AE，若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）若∠CAB＝36°，求证：CD∥AB．
22．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线PM，PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PN的直线交于点Q，则我们把∠AQB称为∠APB的“边垂角”（四边形内角和等于360°）．
（1）如图1和2，若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是 ．
【迁移运用】
（2）如图3，CD，BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的“边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是 ．
【拓展延伸】
（3）如图4，若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB＝AC．BD交AC于点E，点C关于直线BD的对称点为点F，连接AF，EF，且∠CAF＝45°，延长BA和CF相交于点G．
①请说明：△AGC≌△AEB；
②请说明：BE＝CF+CE．
23．（13分）综合与实践
问题情境：
已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线l上，点A，B在直线l的同侧．
（1）如图1，过点B作BE⊥l于点E，则BE与CD的数量关系是 ，此时AD，BE，DE之间的数量关系是 ．
探究证明：
（2）如图2，在直线l上取点F，使BF＝BC，猜想CF与AD的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在直线l任取一点P，连接BP，以点P为直角顶点作等腰直角三角形BPG，作GH⊥l于点H，写出在图3，图4中GH，AD，CP之间的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）据医学研究：猴痘病毒的平均直径约为0.00000023米，0.00000023米用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×10﹣7米B．2.3×10﹣8米
C．2.3×10﹣9米D．2.3×10﹣10米
【解答】解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．故0.00000023＝2.3×10﹣7.
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
【解答】解：A、（﹣a2b3）2＝a4b6，故本选项符合题意；
B、a3•a5＝a8，故本选项不合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
D、3a2﹣2a2＝a2，故本选项不合题意；
故选：A．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．391人中至少有两人的生日在同一天
B．抛掷一次硬币反面一定朝上
C．任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数
D．某种彩票的中奖率为0.1%，购买1000张彩票一定能中奖
【解答】解：A、是必然事件，故本选项正确，
B、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
故选：A．
5．（3分）如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．54°D．64°
【解答】解：∵GH∥BF，∠1＝36°，
∴∠CBF＝∠1＝36°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣36°＝54°，
∵DE∥BF，
∴∠2＝∠ABF＝54°，
故选：C．
6．（3分）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：D．
7．（3分）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′＞A′B，
∴AC′+BC′＞AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形
【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，所以A选项不符合题意；
B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以B选项符合题意；
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以C选项不符合题意；
D．三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以D选项不符合题意．
故选：B．
9．（3分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s表示路程，t表示时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得乌龟速度慢，但是一直在运动，兔子的速度快但是中间有停过一段时间，而且乌龟比兔子早到，故A，B，C不符合题意，符合描述的只有D选项．
故选：D．
10．（3分）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（ ）
A．12B．8C．6D．4
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∵AB＝CE，AD＝ED，
∵AE＝2AD，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
即AC﹣CE＜2AD＜AC+CE，
∴AB＝5，AC＝7，
∴CE＝AB＝5，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，
即2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）40°的余角是 50 °．
【解答】解：∵40°+50°＝90°，
∴40°的余角是50°，
故答案为：50．
12．（3分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．
【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．
13．（3分）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是 y＝5x ．
【解答】解：由题意得：y＝100×0.05x，
即y＝5x．
故答案为：y＝5x．
14．（3分）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OA于M，PM＝8，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为 8 ．
【解答】解：根据垂线段最短可得，当PN⊥OB时，NP的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，
∴PM＝PN，
∵PM＝8，
∴PN＝8．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，△AED和△ABD关于直线AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F，连接EF，当△DEF为等腰三角形时，∠EDF的度数为 50或65或80 °．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝25°．
令∠BAD＝m，
∵△AED和△ABD关于直线AD对称，
∴∠DAE＝m，AB＝AE，
∴AC＝AE．
∵∠CAE＝130°﹣2m，且AF平分∠CAE，
∴∠EAF＝∠CAF＝65°﹣m．
∵∠ADF＝∠B+∠BAD＝m+25°，∠ADE＝∠ADB＝155°﹣m，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADF＝155°﹣m﹣（m+25°）＝130°﹣2m．
同理可得，
∠DFE＝2m，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠DFE）＝50°．
当DE＝DF时，
∠DEF＝∠DFE＝50°，
∴∠EDF＝80°．
当ED＝EF时，
∠EDF＝．
当FD＝FE时，
∠EDF＝∠DEF＝50°．
综上所述，∠EDF的度数为：50°或65°或80°．
故答案为：50或65或80．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x．
【解答】解：（1）
＝1+8×1﹣4
＝1+8﹣4
＝5；
（2）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
＝2xy﹣1．
17．（8分）先化简，再求值：（3x+y）（x﹣y）+（2xy3﹣6x3y）÷2xy，其中x＝3，y＝﹣1．
【解答】解：（3x+y）（x﹣y）+（2xy3﹣6x3y）÷2xy
＝3x2﹣2xy﹣y2+y2﹣3x2
＝﹣2xy，
当x＝3，y＝﹣1时，
原式＝﹣2×3×（﹣1）
＝6．
18．（8分）如图，已知：直线l1∥l2，直线AB分别交l1、l2于点A、B．
（1）实践与操作：作线段AB的垂直平分线，分别交l1、l2于点C、D，交AB点O．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）猜想与证明：试猜想线段AC和BD的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）直线CD为所求．
（2）AC＝BD，
理由如下：∵AC∥BD，
∴∠CAO＝∠DBO，∠ACO＝∠BDO，
∵CD垂直平分AB，
∴AO＝BO，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
19．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E为边AB上一动点，连接CE，随着点E的运动△BCE的面积也发生变化．
（1）求△BCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式得，
y＝CD•DE
＝×3×（4﹣x）
＝﹣x+6，
答：△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜4）之间的关系式为y＝﹣x+6；
（2）当x＝2时，y＝﹣3+6＝3，
答：当x＝2时，y＝3．
20．（8分）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 0.9 附近，估计成活概率为 0.9 （精确到0.1）．
（2）该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
【解答】解：（1）由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9．
故答案为：0.9；
（2）①估计这批花卉成活的棵数为：
20000×0.9＝18000（棵）；
②估计还需要移植多少棵为：
270000÷0.9﹣20000＝280000（棵）．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠CBA，连接AE，若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：△ADC≌△AEB；
（2）若∠CAB＝36°，求证：CD∥AB．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE．
∴∠DAC＝∠EAB．
在△DAC和△EAB中
∵
∴△DAC≌△EAB（SAS）
（2）证明：∵AB＝AC，∠CAB＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BE平分∠CAB，
∴∠ABE＝∠ABC＝36°．
∴∠ABE＝∠BAC＝36°．
∵△DAC≌△EAB，
∴∠DCA＝∠EBA＝36°．
∴∠DCA＝∠BAC＝36°．
∴CD∥AB．
22．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线PM，PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PN的直线交于点Q，则我们把∠AQB称为∠APB的“边垂角”（四边形内角和等于360°）．
（1）如图1和2，若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是 ∠AQB+∠APB＝180°或∠AQB＝∠APB． ．
【迁移运用】
（2）如图3，CD，BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的“边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是 ∠DFE ．
【拓展延伸】
（3）如图4，若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB＝AC．BD交AC于点E，点C关于直线BD的对称点为点F，连接AF，EF，且∠CAF＝45°，延长BA和CF相交于点G．
①请说明：△AGC≌△AEB；
②请说明：BE＝CF+CE．
【解答】（1）解：若∠AQB是∠APB的“边垂角”，分两种情况：
①如图1：
∵∠AQB是∠APB的“边垂角”，
∴AQ⊥PA，BQ⊥PB，
∴∠PAQ＝90°，∠PBQ＝90°，
∵∠PAQ+∠AQB+∠APB+∠PBQ＝360°，
∴∠AQB+∠APB＝180°；
②如图2：
∵∠AQB是∠APB的“边垂角”，
∴AQ⊥PA，BQ⊥PB，
∴∠AQB+∠1＝90°，∠APB+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AQB＝∠APB；
综上，∠AQB+∠APB＝180°或∠AQB＝∠APB．
故答案为：∠AQB+∠APB＝180°或∠AQB＝∠APB．
（2）解：由“边垂角”定义可得，∠DAE的“边垂角”为∠DFE，
故答案为：∠DFE．
（3）证明：①∵∠ACD是∠ABD的“边垂角”，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠ACD+∠DEC＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠ACF，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，
∵AB＝AC，
∴△AGC≌△AEB（ASA）；
②证明：∵△AGC≌△AEB（ASA），
∴AG＝AE，BE＝CG，
∵∠FAC＝45°，
∴∠GAF＝90°﹣∠FAC＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE＝45°，
∵AF＝AF，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF＝EF．
∵点C关于直线BE对称点为点F，
∴EF＝EC，
∴BE＝CG＝CF+FG＝CF+EF＝CF+CE，
∴BE＝CF+CE．
23．（13分）综合与实践
问题情境：
已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线l上，点A，B在直线l的同侧．
（1）如图1，过点B作BE⊥l于点E，则BE与CD的数量关系是 BE＝CD ，此时AD，BE，DE之间的数量关系是 AD+BE＝DE ．
探究证明：
（2）如图2，在直线l上取点F，使BF＝BC，猜想CF与AD的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在直线l任取一点P，连接BP，以点P为直角顶点作等腰直角三角形BPG，作GH⊥l于点H，写出在图3，图4中GH，AD，CP之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）从图1可知：∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
在△ACD和△CBE中，∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE＝CD，AD＝CE．
又∵CD+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE．
（2）如下图，过点B作BH⊥CF于点H．
同理（1）可得：△ACD≌△CBH，AD＝CH，
在等腰△BCF中，BC＝BF，BH为底边CF上的高，
∴CH＝HF （等腰三角形“三线合一”的性质）．
∴CF＝2CH＝2AD．
故CF和AD的数量关系为：CF＝2AD．
（3）对于图3和图4，分别过点B作BQ⊥l于点Q，
由题意得，BP＝GP，∠BPG＝90°．
同理（1）可知，△ACD≌△CBQ，AD＝CQ．
又∵∠BPQ+∠PBQ＝∠BPQ+∠GPH＝90°，
∴∠PBQ＝∠GPH．
在△PBQ和△GPH中，
∵∠PBQ＝∠GPH，∠PQB＝∠GHP，BP＝GP，
∴△PBQ≌△GPH，
∴GH＝PQ．
对于图3，GH+AD＝PQ+CQ＝CP；对于图4，GH﹣AD＝PQ﹣CQ＝CP．
∴在图3，图4中GH，AD，CP之间的数量关系分别为：GH+AD＝CP；GH﹣AD＝CP．
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