[数学][期中]湖北省黄冈市麻城市2023-2024学年八年级下学期期中试题(解析版)

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，都不是最简二次根式．
是最简二次根式；
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥3B. x≤9C. x≥﹣3D. x≤﹣9
【答案】B
【解析】∵9﹣x≥0，∴x≤9
3. 由下列线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a＝7，b＝24，c＝25B. a＝1.5，b＝2，c＝2.5
C. D. a＝40，b＝50，c＝60
【答案】D
【解析】A、∵72+242＝625＝252，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵1.52+22＝6.25＝2.52，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（）2+12＝＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵402+502＝4100≠602，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D. =1
【答案】D
【解析】A、与不能合并，所以A选项错误；
B、2与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝＝1，所以D选项正确．
5. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB，
DF∥BC且DF＝CE，∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
6. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A. ﹣0.4B. ﹣C. 1﹣D. ﹣1
【答案】C
【解析】在Rt△AOB中，AB=，∴AB=AC=，
∴OC=AC﹣OA=﹣1，∴点C表示的数为1﹣．
7. 已知是整数，正整数n的最小值为( )
A. 0B. 1C. 6D. 36
【答案】C
【解析】∵，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．
8. 已知点，点，点为轴上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，
∴，
根据两点之间，线段最短，可得此时的值最小，最小值即为的长，
∵，∴,
∴，
∴的最小值为，
9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A. （x﹣1）2+52＝x2B. x2+102＝（x+1）2
C. （x﹣1）2+102＝x2D. x2+52＝（x+1）2
【答案】A
【解析】设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，由题意得：（x-1）2+52=x2，
10. 如图，等边内一点，，，时，则长为（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】A
【解析】∵为等边三角形，、，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
、、、，
为等边三角形，
、，
，
在中，、，
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 化简的结果为__________．
【答案】
【解析】∵＜2，∴，
∴．
12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____．
【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等
【解析】因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”．
13. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________．

【答案】6
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又∵，∴为等边三角形，
∴，∴，
∴矩形对角线的长等于6．
14. 一个直角三角形的三边为6，8，a，则_______
【答案】10或##或10
【解析】设第三边为a，
若8是直角边，则第三边a是斜边，
由勾股定理得：，
解得；
若8是斜边，则第三边a为直角边，
由勾股定理得：，
解得；
∴第三边的长为10或．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
三、解答题（本大题共9小题，共75分．）
16. 计算：
(1) (2).
解：（1）原式=
=
（2）解：原式=
=.
17. 已知=，=，求的值．
解：∵=，=，
∴，，
∴====12．
18. 如图，中，为上的两点，，求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，∴，
又∵，∴，∴．
19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．（直接填写结果）
解：（1）AB=，BC=，AC=，
△ABC的周长=，
（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°．
（3）过B作BP⊥AC，如图：
∵△ABC的面积=AB•BC＝AC•BP，
即，
解得BP=2，
20. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.
(1) 判断△BEC的形状，并说明理由;
(2) 求证：四边形EFPH是矩形.
解：（1）△BEC是直角三角形，理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，
∵AD=BC=5，AB=CD=2，
∴CE==，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形；
（2）∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
21. 在中，，，，求的长．
解：过点作，
，，
，，
，，
，
．

22. 为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空地ABCD种植上花草．经测量，∠B=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米．若每平方米空地需要购买150元的花草．将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？
解：连接AC，
​
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=52，
在△CAD中，AD2=132，DC2=122，
而122+52=132，
即AC2+CD2=AD2，
∴∠DCA=90°，
S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=•BC•AB+DC•AC，
=×4×3+×12×5=36，
所以需费用36×150=5400(元)，
答：这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草．
23. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
解：（1）如图所示，
∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵OA=OC，EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
24. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）求点E的坐标；
（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵是由折叠所得，
∴≌，∴∠DOB=∠AOB，
又∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，∴∠AOB=∠OBC，
∴∠DOB=∠OBC，∴OD=BD，
∴为等腰三角形；
（2）过点E作EF⊥轴于F交BC于G，设CD的长为，则BD=BC-CD=8-，由（1）知OD=BD=8-，
∵四边形ABCO矩形，,
∴∠OCD=∠OAB=90°，CO=AB，
∴在中，，
即，
解得，即CD=3，OD=BD=8-=5，
由(1)知，≌，
∴∠OEB=∠OAB=90°，∴∠OCD=∠BED=90°，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴DE=CD=3 ，BE=OC=4，
∵EF⊥轴，∴∠OFE=90°，
∵OA∥BC，∴∠CGE=∠OFE=90°，
∴EG⊥BD，
∴，即，
∴中，，
∵∠OCG=∠OFE=∠CGF =90°，
∴四边形OFGC是矩形，
∴OF=CG=CD+DG=3+=，
∴EF=GE+GF=+4=，
故E点坐标为；
(3) 存三点，，．
可分三种情况：
①点F在第二象限，如图1：
∵，，，
∴，即；
②点F在第四象限，如图2：
∵，，，
∴，即；
③点F在第一象限，如图3：
∵，，，
∴，即；
故存在三点，，，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形．