[数学][期末]河南省安阳市内黄县2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 单项式的意义可以是（ ）
A. 与x的和B. 与x的差C. 与x的积 D. 与x的商
【答案】C
【解析】A、与x的和，即，不符合题意，故该选项是错误的；
B、与x的差，即，不符合题意，故该选项是错误的；
C、与x的积，即，符合题意，故该选项是正确的；
D、与x的商，即，不符合题意，故该选项是错误的；
2. 已知函数 ()的图象经过点， 则的值为（ ）
A 4B. C. 36D.
【答案】A
【解析】∵正比例函数的图象经过点，
∴，解得：．．
3. 一组数据的方差可以用式子 表示，则式子中的数字48表示（ ）
A. 这组数据的个数B. 这组数据的平均数
C. 这组数据的众数D. 这组数据的中位数
【答案】B
【解析】根据方差的计算公式，可知式子中48即是，
∴数字48所表示的意义是这组数据的平均数，
4. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
A. 金额、单价是变量，数量是常量
B. 数量、单价是变量，金额是常量
C. 金额、数量是变量，单价是常量
D. 金额、数量、单价都是变量
【答案】C
【解析】∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，
∴金额、数量是变量，单价是常量．
5. 学校组织运动会报名，每位学生最多能报3个项目．下表是八年级六班50名学生报名项目个数的统计表：
其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕． 无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 中位数，众数B. 平均数，方差C. 平均数，众数D. 众数，方差
【答案】A
【解析】，，
m和n均小于24，众数为1，不会发生改变；
由题意知，将报名项目个数按大小顺序排列后，第25、26位均是1，
中位数为1，不会发生改变
6. 综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程．
在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】B
【解析】由作图可得，，，
∴魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
7. 学校体育队的4名学生（①，②，③，④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是13.4秒，方差如下表所示：
则这4名学生中发挥最稳定的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】由4人测试的平均数相同，而③号学生的方差最小，他发挥最稳定；
8. 五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：
刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，
然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，
过了一段时间到达苏晟家停车，则速度减少到0，
苏晟上车后，程林开车加速行驶，速度从0开始增加，
一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加，
∴能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是A
9. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A. B. C. 18D. 36
【答案】B
【解析】∵，
∴；
∵点D是斜边的中点，
∴；
由勾股定理得：，
∴；
10. 如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，作于E点，连接，

∵菱形中，，
∴，为等边三角形，，互相平分，
∴，，
∴，∴，
根据垂线段最短，此时最短，当A，P，E三点共线时，即最小，
∵菱形的边长为8，为等边三角形，
∴，∴，
∴，∴最小值为，
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知是整数，则的值可以是_________ （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】∵是整数；∴是完全平方数；
∴，解得：．（答案不唯一）
12. 学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为____________．
【答案】12
【解析】设旗杆的高度为，
如图，

，
，
，
，
解得：，
，旗杆的高度为，
13. 新学期，新团队，八年级五班进行班长竞选，对甲、乙、丙三名学生进行了组织能力、沟通能力和团队合作能力三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位竞选者的组织能力、沟通能力和团队合作能力的成绩按6：1：3的比计算其总成绩，并且总成绩最高者竞选成功，则本次竞选班长成功的是_____同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【解析】解：，
，
，
∵，∴被录用的是甲，
14. 将直线：，先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到直线 ，则平移后得到直线的解析式为______．
【答案】##
【解析】将抛物线向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，即
15. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____．

【答案】4.5
【解析】当时，，
∴点M的坐标为，．
∵点A为的中点，
∴．
∵四边形为平行四边形，点B在x轴上，
∴轴．
当时，，
解得：，
∴点C的坐标为，
∴，
∴的面积．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：
解（1）
（2）
17. 数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点， 与轴交于点A ．

（1）求b的值和点A的坐标；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 观察图象， 当时，的取值范围为 ；
（3）若C是轴上一点，的面积为3，求点C的坐标．
解：（1）∵的图像经过点，
∴，∴
令，得，
解得，∴点A的坐标为；
（2）如图：

当时，
∴；
（3）设，
∵，∴，
∵，∴，
又 ，
∴，
解得或3,
∴点C的坐标为或；
18. 在平面直角坐标系中， 给出如下定义： 若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为．特别地，当图形M与图形N有公共点时，．已知，，，．
（1）d(点A，点C)= ， d(点A，线段)= ．
（2）半径为r．当时，求与正方形的“近距离”d(，正方形)．
解：（1）如图，观察图象可知d（点A，点C），d（点A，线段）．
（2）如图，过点O作于H，交于F．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴与正方形的“近距离”d（，正方形）．
19. 便民服务中心为提高服务质量， 对五楼服务窗口开展了群众满意度问卷调查，群众满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2 分，3 分，4分，5分，6分，共6档，便民服务中心规定：若群众所评分数的平均数或中位数低于4 分，则该窗口需要对服务质量进行整改，工作人员从收回的问卷中随机抽取了24 份，如图是根据这24份问卷中的群众所评分数绘制的统计图．

（1）求群众所评分数的中位数、平均数，并判断该窗口是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的 24 份合在一起，重新计算后，发现群众所计分数的平均数大于4.04 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分?
解：（1）由条形图可知，第12个数据是4分，第13个数据也是4分，
∴中位数为4分，
由统计图可得平均数为分，
∴群众所评分数的平均数或中位数都不低于4分，
∴该部门不需要整改；
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有
，解得
∵满意度从低到高1分，2分，3分，4分，5分，6分 ，共6档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为6分．
20. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的纽带．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．
（2）上述记载表明了：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是 ．
（3）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路：将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，， ，且 = ，
∴整理得，，
∴ ．
（4）如图 ，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求长．
解：（2） ；
（3）∵，，
，且，
∴整理得，，
∴．
（4）∵矩形折叠后点C与点A重合，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
即，解得，
∴；
21. 姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（单位：）与摆动时间t（单位：）之间的关系如图所示．
（1）根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并说明理由．
（2）结合图象回答以下问题．
①当时，h的值是多少?请说明它的实际意义．
②秋千从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点后继续回到最高点，这个过程称为一个周期．如图：第一周期为．请计算出秋千摆动的第二个周期需要多长时间．
解：（1）由图象可知,对于每一个摆动的时间t， h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h 是变量t的函数；
（2）①由函数图象可知,当时，；
它的实际意义是：秋千摆动到时，秋千离地面的高度为；
②由图象可知，秋千摆动的第二个周期需要时间为：；
22. 内黄县为迎接“国家卫生县城”复检，某乡镇准备购买A，B两种型号的垃圾箱．已知购买4个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需590元，购买3个A型垃圾箱比购买4个B型垃圾箱少用120元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元．
（2）该乡镇现需要购买A， B两种型号的垃圾箱共240个，其中购买A型垃圾箱不超过150个．
①求购买垃圾箱的总费用（元）与A型垃圾箱数量m（个）之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少? 最少总费用是多少?
解：（1）设每个A型垃圾箱元，每个B型垃圾箱元，
∴，解得：，
答：每个A型垃圾箱80元，每个B型垃圾箱90元；
（2）①设购买m个A型垃圾箱，则购买个B型垃圾箱，
根据题意得：（且m为整数）．
②∵中，
∴随m值增大而减小，
当时，w取最小值，
最小值，
答：买150个A型垃圾箱总费用最少，最少费用是20100元．
23. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．
（1）[概念理解]
如图，在四边形中，，判断四边形是否为“垂美四边形”并说明理由；
（2）[性质探究]
如图，试在“垂美四边形”中探究之间的数量关系；
（3）[解决问题]
如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交于点M，N，若，求的长．
解：（1）四边形是垂美四边形，理由如下：
连接，如图：
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是垂美四边形．
（2）如图，在垂美四边形中，
∵于点O，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
∴．
（3）连接，如图∶
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得∶，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴．报名项目个数
0
1
2
3
人数
8
24
m
n
选手
①
②
③
④
方差
0.103
0.089
0.035
0.042
竞选者
组织能力
沟通能力
团队合作能力
甲
80
70
60
乙
60
80
70
丙
70
60
80