2025年高考数学一轮复习-拓展拔高5-指对同构【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-拓展拔高5-指对同构【导学案】，共6页。学案主要包含了高考考情等内容，欢迎下载使用。
【同构法】是证明不等式的一种技巧,通过等价变形使得两边的式子结构相同,从而将两边看成是同一个函数的两个函数值,借助该函数的单调性简化不等式,使问题得以解决.同构法需要有敏锐的观察能力才能找到函数的模型.
一、五个常见变形
①xex=ex+ln x ②exx=ex-ln x ③xex=eln x-x
④x+ln x=ln(xex) ⑤x-ln x=ln exx
二、三种基本类型
视角一 bln b与xex同构
[导思]bln b=eln b·ln b,即ln b·eln b对应xex模型,可构造函数f(x)=xex.
[例1]设实数λ>0,若对于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-lnxλ≥0恒成立,则λ的最小值为( )
A.eB.12eC.1eD.2e
【解析】选C.由eλx-lnxλ≥0,得λeλx-ln x≥0,
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同构xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
设f(x)=xex,
则f'(x)=(x+1)ex>0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥lnxx,所以λ≥lnxxmax.
令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2(x>0).
所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)0),则g'(x)=1+ln x,可知当x∈(0,1e)时,g'(x)0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围为______________.
【解析】因为x2+xln a-aexln x>0,
所以aexln x1).所以h(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,h(x)min=h(2)=2.
因此,ln a≤2,即a≤e2,a的取值范围是(0,e2].
思维升华
指对同构解题的关键点
(1)常用的指对同构:指数和对数混合的导数题,直接使用同构的题目并不多,许多情况下,需要凑出同构的形式来.因为指数和对数之间可以互相转换,所以尽量转换为常见的aea≤bln b,eaa=blnb,ea±a>b±ln b三种同构形式.
(2)复杂式的指对同构:比如aeax≤ln x两边同乘x可转化为axeax≤xln x;ax>lgax可转化为exln a>lnxlna,两边再同时乘xln a可转化为(xln a)·exln a>xln x;x+1ex≥xa-ln xa可转化为1ex-ln 1ex≥xa-ln xa等.