2025年高考数学一轮复习-拓展拔高4-极值点偏移问题【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-拓展拔高4-极值点偏移问题【导学案】，共6页。学案主要包含了高考考情，研究对象，极值点偏移的定义等内容，欢迎下载使用。
【研究对象】一般地,证明两数x1,x2之和(之积)的不等式问题,常涉及函数的极值点偏移.解决极值点偏移问题的关键是消元,有时待证的结论需要利用不等式转化变形.
【极值点偏移的定义】
一般地,若连续函数f(x)在[a,b]内有唯一的极值点x0,对于任意的x1,x2∈[a,b],当f(x1)=f(x2)时有x1+x22≠x0,则称函数f(x)极值点偏移.
(1)左偏移:当x1+x22>x0时,极值点x0在[a,b]内向左偏移.(如图1,2)
(2)右偏移:当x1+x220),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1≠x2).
证明:x1x2>e2.
【证明】不妨设x1>x2>0,
因为ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0,
所以ln x1+ln x2=a(x1+x2),ln x1-ln x2=a(x1-x2),所以ln x1-ln x2x1-x2=a,
欲证x1x2>e2,即证ln x1+ln x2>2.
因为ln x1+ln x2=a(x1+x2),所以即证a>2x1+x2,所以原问题等价于证明ln x1-ln x2x1-x2>2x1+x2,即ln x1x2>2(x1-x2)x1+x2,
令c=x1x2(c>1),则不等式变为ln c>2(c-1)c+1.
令h(c)=ln c-2(c-1)c+1,c>1,
所以h'(c)=1c-4(c+1)2=(c-1)2c(c+1)2>0,
所以h(c)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(c)>h(1)=ln 1-0=0,
即ln c-2(c-1)c+1>0(c>1),
因此原不等式x1x2>e2得证.
思维升华
比值换元法的解题策略
(1)联立消参:利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的参数a.
(2)抓商构元:令t=x1x2,消掉变量x1,x2,构造关于t的函数h(t).
(3)用导求解:利用导数求解函数h(t)的最值,从而可证得结论.
视角二 极值点偏移问题之消参减元、差值代换
[例2]若函数f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2x2,根据h(x1)=h(x2)可知x1>1,x21时,F(x)>F(1)=0,
即当x>1时,h(x)>h(2-x),
则h(x1)>h(2-x1),
又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),
因为x1>1,所以2-x12-x1,所以x1+x2>2得证.
思维升华
对称构造法,主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式问题.其解题要点如下:
(1)定函数极值点:利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点x0;
(2)构造函数:根据极值点构造对称函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);
(3)判断单调性:利用导数讨论F(x)的单调性;
(4)比较大小:判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系;
(5)转化:利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求.
迁移应用
已知函数f(x)=ln (x+a)-x-1x+a,函数g(x)满足ln [g(x)+x2]=ln x+x-a.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
【解析】(1)由已知得,函数f(x)的定义域为(-a,+∞),
则f'(x)=1x+a-x+a-(x-1)(x+a)2=x-1(x+a)2,
所以当-a≥1,即a≤-1时,f'(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增;
当-a-1时,若-a0,
所以f(x)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤-1时,f(x)在(-a,+∞)上单调递增;
当a>-1时,f(x)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)若g(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1x20),
所以h'(x)=1-1x=x-1x,
令h'(x)>0,则x>1,令h'(x)