高中数学人教版第二册下A概率单元测试达标测试

这是一份高中数学人教版第二册下A概率单元测试达标测试，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知X~B，则P＝( C )
A.B.
C.D.C.
2. 小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P＝( B )
A.B.
C.D.
3. 设X为随机变量，X~B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于( A )
A.B.
C.D.
4. 若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( C )
A.10 B.100
C.D.
5. 某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( B )
A.B.
C.D.
6. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为( A )
A.B.
C.D.
7. 某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过. 已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是( B )
A.3B.
C.2D.
8. 设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于( B )
A.4，8B.2，8
C.2，16D.2＋b，16. 故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是( BC )
A.－B.－
C.－D.－
10. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止. 某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1. 75，则p的取值可能是( AB )
A.B.
C.D.
11. 下列说法中正确的是( ABC )
A.设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0. 9，则P(0＜X＜2)＝0. 4
C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3
D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3
12. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程. 则( BCD )
A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝乙 .
14. 在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0. 4，0. 1，0. 5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0. 1，0. 6，0. 3，那么两名战士获胜希望较大的是乙 .
15. 已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个. 设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝乙 ，Dξ＝乙 .
16. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是乙 .
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：
(1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
18. (12分) 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?
19. (12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求Eξ，Dξ.
20. (12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
21. (12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束). 若仅比赛2局就结束的概率为.
(1)求p的值；
(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.
22. (12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者. 血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.
(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；
(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.
①采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；
②采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望. 你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.
北师大高中数学选择性必修第一册
第六章 概率 单元测试卷(解析版)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知X~B，则P＝( C )
A.B.
C.D.
解析：P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝. 故选C.
2. 小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P＝( B )
A.B.
C.D.
解析：由题意，P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B｜A)＝，故选B.
3. 设X为随机变量，X~B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于( A )
A.B.
C.D.
解析：因为EX＝n＝2，得n＝6，即X~B.
所以P(X＝2)＝. 故选A.
4. 若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( C )
A.10 B.100
C.D.
解析：由正态分布密度曲线上的最高点知，即σ＝，∴DX＝σ2＝. 故选C.
5. 某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( B )
A.B.
C.D.
解析：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为. 故选B.
6. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为( A )
A.B.
C.D.
解析：设A学生答对题的个数为m，则得分X＝5m，m~B，Dm＝12×，所以DX＝25×，同理设B学生答对题的个数为n，可知n~B，Dn＝12×，所以DY＝×25＝，所以DY－DX＝. 故选A.
7. 某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过. 已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是( B )
A.3B.
C.2D.
解析：在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，通不过的概率为.
由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P(X＝0)＝；
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝；
P(X＝3)＝.
所以随机变量X的分布列为
数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×，
或由二项分布的期望公式可得EX＝3×. 故选B.
8. 设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于( B )
A.4，8B.2，8
C.2，16D.2＋b，16
解析：因为随机变量X，Y满足Y＝2X＋b，所以EY＝2EX＋b＝4＋b，∴EX＝2；∵DY＝4DX＝32，∴DX＝8. 故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是( BC )
A.－B.－
C.－D.－
解析：根据分布列的性质可知，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，所以b－a＝0，b∈. 根据期望公式得到Eξ＝－1×＋b，化简得Eξ＝－b2＋，由二次函数的性质可知，Eξ∈，所以Eξ的值可能是－或－. 故选BC.
10. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止. 某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1. 75，则p的取值可能是( AB )
A.B.
C.D.
解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1. 75，解得p＞或p＜，由p∈(0，1)可得p∈(0，)，所以p的取值可能是或. 故选AB.
11. 下列说法中正确的是( ABC )
A.设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0. 9，则P(0＜X＜2)＝0. 4
C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3
D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3
解析：设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝，故A正确；∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝2，
∵P(X＜4)＝0. 9，∴P(2＜X＜4)＝0. 9－0. 5＝0. 4，
∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0. 4，故B正确；
设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则c－2＝2－(c－2)，解得c＝3，则常数c的值是3，故C正确；
∵E(2X＋3)＝2EX＋3，D(2X＋3)＝4DX，故D错误. 故选ABC.
12. 为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程. 则( BCD )
A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝
解析：对于A，甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有63＝216种，故A错误；对于B，恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故B正确；对于C，已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以条件概率为，故C正确；对于D，三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则ξ服从二项分布ξ~B，则Eξ＝3×，故D正确. 故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝.
解析：由分布列的性质有＝1，解得t＝，从而Eξ＝1×＋2×＋3×，
所以Eη＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×＋2＝.
14. 在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0. 4，0. 1，0. 5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0. 1，0. 6，0. 3，那么两名战士获胜希望较大的是乙.
解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
根据均值公式得
EX1＝1×0. 4＋2×0. 1＋3×0. 5＝2. 1；
EX2＝1×0. 1＋2×0. 6＋3×0. 3＝2. 2；
因为EX2＞EX1，
故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大.
15. 已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个. 设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝，Dξ＝.
解析：从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，由此可得，Eξ＝0×＋1×，Dξ＝.
16. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.
解析：解法一(直接法)：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
则在2次试验中成功次数X的均值为
EX＝0×＋1×＋2×.
解法二(公式法)：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为EX＝np＝2×.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：
(1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
解：记“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.
(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝.
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为
P(AB)＝.
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B｜A)＝.
18. (12分) 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.
(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?
解：(1)设参赛学生的成绩为X.
因为X~N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.
则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＜X＜90)]＝[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈×(1－0. 954 4)＝0. 022 8，
则此次参赛学生的总人数约为12÷0. 022 8≈526.
(2)易得P(X≥80)＝P(X≤60)＝
[1－P(60＜X＜80)]＝
[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈
×(1－0. 682 6)＝0. 158 7，
得526×0. 158 7≈83，
即此次竞赛成绩为优的学生约为83人.
19. (12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求Eξ，Dξ.
解：(1)由已知，随机变量η的取值为2，3，4，5，6. 设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，P(η0＝3)＝，
即P(η＝2)＝，
P(η＝3)＝2×，
P(η＝4)＝2×，
P(η＝5)＝2×.
P(η＝6)＝.
所以η的分布列为
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，
因为随机变量ξ~B
所以Eξ＝np＝10×，
Dξ＝np(1－p)＝10×.
20. (12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3 ，所以随机变量X的分布列是
X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3× .
(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，
由于事件A1，A2，A3，彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
而P(A1)＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数的概率为 .
21. (12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束). 若仅比赛2局就结束的概率为.
(1)求p的值；
(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.
解：(1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局，
所以p·p＋(1－p)(1－p)＝，
即25p2－25p＋6＝0，解得p＝或p＝.
(2)当p＝时，即甲胜的概率为，乙胜的概率为1－.
X的可能取值为3，4，5.
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝，
所以X的分布列为
所以EX＝3×＋4×＋5×.
当p＝时，结论与p＝相同.
22. (12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者. 血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.
(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；
(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.
①采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；
②采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望. 你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.
解：(1)6名密切接触者中随机抽取3名共有＝20种方法，
抽取3名中有感染者的抽法共有＝10种方法，
所以抽到感染者的概率P＝.
(2)①按逐一化验法，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝5)＝，
ξ＝5表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性(即不检验可确定第6个样本为阳性)，
分布列如下：
所以Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×；
②平均分组混合化验，6个样本可按(3，3)平均分成2组，或者按(2，2，2)分成3组.
如果按(3，3)分2组，所需化验次数为η，η的可能取值是2，3，
P(η＝2)＝，
P(η＝3)＝×2＝，
分布列如下：
Eη＝2×＋3×.
如果按(2，2，2)分3组，所需化验次数为δ，δ的可能取值是2，3，
P(δ＝2)＝，P(δ＝3)＝×1＋×1＝，
分布列如下：
Eδ＝2×＋3×.
因为Eξ＞Eη＝Eδ，
所以我认为平均分组混合化验法较好，按(2，2，2)或(3，3)分组进行化验均可.
ξ
－1
0
a
P
＋a
－b
ξ
1
2
3
P
t
X
0
1
2
3
P
ξ
－1
0
a
P
＋a
－b
ξ
1
2
3
P
t
X1
1
2
3
P
0. 4
0. 1
0. 5
X2
1
2
3
P
0. 1
0. 6
0. 3
X
0
1
2
P
η
2
3
4
5
6
P
X
0
1
2
3
P
X
3
4
5
P
ξ
1
2
3
4
5
P
η
2
3
P
δ
2
3
P