高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布当堂检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 超几何分布当堂检测题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( D )
A.B.
C.D.
2. 有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②Y表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；
④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是( B )
A.①②B.③④
C.①②④D.①②③④
3. 学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则EX＝( D )
A.B.
C.D.
4. 有8名学生，其中有5名男生. 从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝( B )
A.2 B.2. 5C.3 D.3. 5
5. 在10个排球中有6个正品，4个次品. 从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( A )
A.B.
C.D.
6. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是( B )
A.P(X≥2)B.P(X＝3)
C.P(X≤2)D.P(X≤3)
7. 一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于( C )
A.
B.
C.
D.
8. (多选题)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则下列结论正确的是( ABCD )
A.P(X＝0)＝
B.P(X＜2)＝
C.EX＝
D.DX＝
二、填空题
9. 现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望EX＝乙 .
10. 有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为乙 . (用式子表示)
11. 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P(ξ＝4)＝乙 ，Eξ＝乙 .
三、解答题
12. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用. 现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
14. 3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为( A )
A.B.C.D.
15. 从由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数，其中满足1，3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X，则P(X＝2)＝乙 . (结果用式子表示即可)
16. 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分. 具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：.
其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2.
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得，
所以T＝76. 6≈77(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：
(1)从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
(2)从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
北师大高中数学选择性必修第一册
第六章课时作业47超几何分布(解析版)
一、选择题
1. 设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( D )
A.B.
C.D.
解析：取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布. 由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为. 故选D.
2. 有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②Y表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；
④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是( B )
A.①②B.③④
C.①②④D.①②③④
解析：超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布. 故选B.
3. 学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则EX＝( D )
A.B.
C.D.
解析：X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，分布列如下
EX＝1×＋2×. 故选D.
4. 有8名学生，其中有5名男生. 从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝( B )
A.2 B.2. 5C.3 D.3. 5
解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4).
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×. 故选B.
5. 在10个排球中有6个正品，4个次品. 从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( A )
A.B.
C.D.
解析：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时P＝；当1个正品3个次品时P＝；所以正品数比次品数少的概率为. 故选A.
6. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是( B )
A.P(X≥2)B.P(X＝3)
C.P(X≤2)D.P(X≤3)
解析：由表示从12人中选取6人，表示从5名“三好学生”中选取3人，表示从7个“非三好学生”中选取3人，故表示从12人中选取6人，有3人是“三好学生”的概率. 故选B.
7. 一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于( C )
A.
B.
C.
D.
解析：由题得P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝. 故选C.
8. (多选题)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则下列结论正确的是( ABCD )
A.P(X＝0)＝
B.P(X＜2)＝
C.EX＝
D.DX＝
解析：由题意知，随机变量X的所有取值为0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，EX＝2×，DX＝－. 由此可知，四个选项均正确. 故选ABCD.
二、填空题
9. 现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望EX＝.
解析：由题意可得，随机变量X服从超几何分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，据此计算可得X的数学期望EX＝.
10. 有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为. (用式子表示)
解析：设取出的二级品台数为X，由题意知，随机变量X服从超几何分布，则取二级品1台时P(X＝1)＝，取二级品0台时P(X＝0)＝，故P(X≤1)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝，即二级品不多于1台的概率为.
11. 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P(ξ＝4)＝，Eξ＝.
解析：盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，则ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，Eξ＝3×＋4×＋5×＋6×.
三、解答题
12. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
P(X＝1)＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－.
因此X的分布列为
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率P＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
P(Y＝0)＝，
P(Y＝10)＝，
P(Y＝20)＝，
P(Y＝50)＝，
P(Y＝60)＝.
因此随机变量Y的分布列为
13. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用. 现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝.
因此X的分布列为
14. 3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为( A )
A.B.C.D.
解析：依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，则可分为下列三类：“女生得0分男生得6分”，设为事件A1；“女生得2分男生得4分”，设为事件A2；“女生得4分男生得2分”，设为事件A3，则
P(A1)＝，
P(A2)＝，
P(A3)＝，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝. 故选A.
15. 从由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数，其中满足1，3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X，则P(X＝2)＝. (结果用式子表示即可)
解析：“由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有＝720种. 1，3，5都不相邻的6位偶数有＝36种，即先排好3个偶数，然后奇数在前面的3个空位中任排. 如果1，3相邻，与5不相邻，即1，3捆绑起来，所得的6位偶数有＝72(种)，即先将1，3捆绑起来，然后排好3个偶数，接着将1，3与5插空到前面3个空位中. 由此求得“1，3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有36＋72＝108(种)，其他情况有720－108＝612(种). 根据超几何分布概率计算公式有P(X＝2)＝.
16. 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3＋1＋2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分. 具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：.
其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2.
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得，
所以T＝76. 6≈77(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：
(1)从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
(2)从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
解：(1)设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得，即y＝
＋86＝，
所以≥96，得x≥92. 1，
显然原始成绩满足x≥92. 1的同学有3人，获得A等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为P＝.
(2)由题意可得，等级成绩不小于96分人数为3人，获得A等级的考生有15人，
P(ξ＝0)＝ ＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝.
则分布列为
则Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
等级
A
B
C
D
E
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
B等级
[69，84]
[71，85]
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
X
0
1
2
P
X
1
2
3
4
P
X
0
1
P
Y
0
10
20
50
60
P
X
0
1
2
3
4
P
等级
A
B
C
D
E
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
B等级
[69，84]
[71，85]
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
ξ
0
1
2
3
P