北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布课时训练

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布课时训练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e，则( C )
A.μ＝2，σ＝3
B.μ＝3，σ＝2
C.μ＝2，σ＝
D.μ＝3，σ＝
2. 已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( C )
A.(90，100]B.(95，125]
C.(100，120]D.(105，115]
3. 在如图所示的正方形中随机投掷1 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是( A )
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 954 4.
A.136B.159
C.341D.477≈136. 故选A.
4. 随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0. 3，P(1＜ξ＜5)＝0. 4，则μ＝( C )
A.1 B.2C.3 D.4
5. 随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0. 300 0. 已知a＞0，a≠1，则函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为( C )
A.0. 375 0B.0. 300 0
C.0. 250 0D.0. 200 0
6. 已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－，i＝1，2，3的图象如图所示，则( D )
A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 故选D.
7. (多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ABC )
A.甲类水果的平均质量μ1＝0. 4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
8. (多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( ABC )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0. 997 4)
A.EX＝100
B.DX＝100
C.P(X≥90)≈0. 841 3
D.P(X≤120)≈0. 998 7
二、填空题
9. 已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0. 682 6，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0. 84 .
10. 某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0，2]内的概率为0. 477 2.
11. 某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0. 135 9. 参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0. 997 4.0. 135 9.
三、解答题
12. 设ξ~N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).
13. 某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0. 2. 从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为( C )
A.2 B.2. 1 C.2. 4 D.3
14. 每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0. 82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( A )
A.B.
C.D.
15. 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)求P(132. 2＜l＜144. 4)；
(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品. 公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元. 记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
参考数据：≈12. 2.
若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0. 997 4.
北师大高中数学选择性必修
第一册第六章课时作业48正态分布(解析版)
一、选择题
1. 设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e，则( C )
A.μ＝2，σ＝3
B.μ＝3，σ＝2
C.μ＝2，σ＝
D.μ＝3，σ＝
解析：由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝. 故选C.
2. 已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X~N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( C )
A.(90，100]B.(95，125]
C.(100，120]D.(105，115]
解析：∵X~N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5，又＝0. 95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120).
3. 在如图所示的正方形中随机投掷1 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的分布密度曲线的一部分)的点的个数的估计值是( A )
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 954 4.
A.136B.159
C.341D.477
解析：由题意可知正态分布N(2，1)在(0，1)内取值的概率是图中阴影部分的面积，则S阴＝×[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈×(0. 954 4－0. 682 6)＝0. 135 9，故落入阴影部分的点的个数的估计值是1 000×0. 135 9＝135. 9≈136. 故选A.
4. 随机变量ξ~N(μ，σ2)，若P(ξ≤1)＝0. 3，P(1＜ξ＜5)＝0. 4，则μ＝( C )
A.1 B.2C.3 D.4
解析：由于随机变量ξ~N(μ，σ2)，满足P(ξ≤1)＝0. 3，P(1＜ξ＜5)＝0. 4，P(ξ≥5)＝1－0. 3－0. 4＝0. 3＝P(ξ≤1)，根据正态分布的对称性可知μ＝＝3. 故选C.
5. 随机变量a服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0. 300 0. 已知a＞0，a≠1，则函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为( C )
A.0. 375 0B.0. 300 0
C.0. 250 0D.0. 200 0
解析：∵y＝ax＋1－a的图象不经过第二象限，∴a≥2. ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0＜a＜1)＝0. 300 0，
∴P(1＜a＜2)＝0. 300 0，∴P(a≥2)＝0. 200 0，∴函数y＝ax＋1－a图象不经过第二象限的概率为＝0. 250 0. 故选C.
6. 已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－，i＝1，2，3的图象如图所示，则( D )
A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解析：正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3. 又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 故选D.
7. (多选题)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ABC )
A.甲类水果的平均质量μ1＝0. 4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
解析：由正态曲线图象可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0. 4 kg，A正确；乙类水果的平均质量为μ2＝0. 8 kg，所以μ1＜μ2， C正确；由甲类水果的正态曲线比乙类水果的正态曲线更“高瘦”些，所以σ1＜σ2，得出B正确，D错误. 故选ABC.
8. (多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是( ABC )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0. 997 4)
A.EX＝100
B.DX＝100
C.P(X≥90)≈0. 841 3
D.P(X≤120)≈0. 998 7
解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于直线x＝100对称，根据题意可得，P(90＜X≤110)≈0. 682 6，P(80＜X≤120)≈0. 954 4，∴P(X≥90)≈0. 5＋×0. 682 6＝0. 841 3，故C正确；P(X≤120)≈0. 5＋×0. 954 4＝0. 977 2. 故D错误. 而A，B都正确. 故选ABC.
二、填空题
9. 已知ξ~N(4，σ2)，且P(2＜ξ＜6)≈0. 682 6，则σ＝2，P(｜ξ－2｜＜4)＝0. 84.
解析：∵ξ~N(4，σ2)且P(2＜ξ＜6)≈0. 682 6，∴μ＝4，
结合3σ原则可知∴σ＝2.
∴P(｜ξ－2｜＜4)＝P(－2＜ξ＜6)＝P(－2＜ξ＜2)＋P(2＜ξ＜6)＝
[P(－2＜ξ＜10)－P(2＜ξ＜6)]＋P(2＜ξ＜6)＝P(－2＜ξ＜10)＋P(2＜ξ＜6)＝[P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)]≈(0. 997 4＋0. 682 6)＝0. 84.
10. 某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0，2]内的概率为0. 477 2.
解析：正态分布密度函数是φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵φ(x)的最大值为φ(μ)＝，∴σ＝1，∴P(0＜X≤2)＝P(－2＜X≤2)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈×0. 954 4＝0. 477 2.
11. 某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地(不包括40分钟，包括50分钟)的概率为0. 135 9. 参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0. 997 4.
解析：∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0. 682 6，∴P(X＞μ＋σ)＝，
∴P(X≤μ＋σ)≈1－. 又P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 954 4，∴P(X＞μ＋2σ)＝，
∴P(X≤μ＋2σ)≈1－，∴P(μ＋σ＜X≤μ＋2σ)＝P(X≤μ＋2σ)－P(X≤μ＋σ)≈×(0. 954 4－0. 682 6)＝0. 135 9.
∵μ＝30，σ＝10，∴P(40＜X≤50)≈0. 135 9.
因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0. 135 9.
三、解答题
12. 设ξ~N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5).
解：因为ξ~N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0. 682 6.
(2)因为P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，所以P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]≈
(0. 954 4－0. 682 6)＝0. 135 9.
(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]≈(1－0. 954 4)＝0. 022 8.
13. 某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0. 2. 从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在[70，110]的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为( C )
A.2 B.2. 1 C.2. 4 D.3
解析：由正态分布知，每个人数学成绩在[70，110]的概率为2×(0. 5－0. 2)＝0. 6，所以10名学生的数学成绩在[70，110]的人数服从二项分布B(10，0. 6)，所以ξ的方差为10×0. 6×(1－0. 6)＝2. 4. 故选C.
14. 每年农历腊月廿三至腊月廿九，我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X(单位：万)近似服从正态分布N(10，0. 82)，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为( A )
A.B.
C.D.
解析：由X~N(10，0. 82)，得P(X≥10)＝. 故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为P＝. 故选A.
15. 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”(记为l，单位：cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)求P(132. 2＜l＜144. 4)；
(2)公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l＜115时，产品为次品. 公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元. 记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
参考数据：≈12. 2.
若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0. 682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0. 997 4.
解：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数＝90×0. 02＋100×0. 09＋110×0. 22＋120×0. 33＋130×0. 24＋140×0. 08＋150×0. 02＝120，抽取产品质量指标值的方差s2＝900×0. 02＋400×0. 09＋100×0. 22＋0×0. 33＋100×0. 24＋400×0. 08＋900×0. 02＝150.
所以l~N(120，150)，又σ＝≈12. 2，
所以P(μ＜l≤μ＋σ)＝P(120＜l≤132. 2)≈×0. 682 6＝0. 341 3，
P(μ＜l≤μ＋2σ)＝P(120＜l≤144. 4)≈×0. 954 4＝0. 477 2，
所以P(132. 2＜l＜144. 4)＝P(120＜l≤144. 4)－P(120＜l≤132. 2)≈0. 135 9.
(2)由频数分布表得，P(l＜115)＝0. 02＋0. 09＋0. 22＝0. 33，P(l≥115)＝1－0. 33＝0. 67.
随机变量ξ的取值为90，－30，且P(ξ＝90)＝0. 67，P(ξ＝－30)＝0. 33.
则随机变量ξ的分布列为
所以Eξ＝90×0. 67－30×0. 33＝50. 4.
分组
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
[125，135)
[135，145)
[145，155]
频数
2
9
22
33
24
8
2
分组
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
[125，135)
[135，145)
[145，155]
频数
2
9
22
33
24
8
2
ξ
90
－30
P
0. 67
0. 33