人教版选修2（理科）线性回归当堂达标检测题

这是一份人教版选修2（理科）线性回归当堂达标检测题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1. 为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( C )
A.l1与l2一定重合
B.l1与l2一定平行
C.l1与l2相交于点()
D.无法判断l1和l2是否相交
2. 为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得线性回归方程为＝0. 67x＋54. 9. 若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( C )
A.75B.155. 4
C.375D.466. 2
3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为Y＝aX－(1－a)，若xi＝5，yi＝8，则a的值为( A )
A.B.
C.D.1
4. 为了研究某班学生的数学成绩X(分)和物理成绩Y(分)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出Y与X之间有线性相关关系，设其线性回归方程为Y＝. 已知xi＝750，yi＝800，＝1. 2，该班某学生的物理成绩为86，据此估计其数学成绩约为( B )
A.81B.80
C.93D.94
5. 学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
根据上表可得回归方程Y＝中的为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( B )
A.141B.191
C.211D.241
6. 已知具有线性相关关系的变量X，Y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，线性回归方程为Y＝，若＋…＋＝(6，2)(O为原点)，则＝( B )
A.B.－
C.D.－
7. (多选题)下列说法错误的有( AD )
A.线性回归方程适用于一切样本和总体
B.线性回归方程一般都有局限性
C.样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围
D.线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值
8. (多选题)已知具有线性关系的五个样本点A1(0，0)，A2(2，2)，A3(3，2)，A4(4，2)，A5(6，4)，用最小二乘法得到线性回归方程l1：Y＝bX＋a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx＋n，下列结论正确的是( AB )
A.m＞b，a＞n
B.直线l1过点A3
C.(yi－bxi－a)2≥(yi－mxi－n)2
D.｜yi－bxi－a｜≥｜yi－mxi－n｜
二、填空题
9. 已知变量X，Y线性相关，由观测数据算得样本的平均数＝4，＝5，线性回归方程Y＝bX＋a中的系数b，a满足b＋a＝4，则线性回归方程为Y＝ .
10. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出X(单位：万元)与年销售额Y(单位：万元)进行了初步统计，如下表所示，经测算，年广告支出X与年销售额Y满足线性回归方程Y＝6. 4X＋18，则a的值为55 . (保留整数)
11. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X(单位：小时)与当天投篮命中率Y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为0. 5；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0. 53.
三、解答题
12. 通过市场调查，得到某种产品的资金投入X(单位：万元)与获得的利润Y(单位：万元)的数据，如表所示：
线性回归方程Y＝中系数计算公式：.
(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程Y＝；
(2)现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元?
13. 2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10. 2%下降到2018年底的1. 4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹. “贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：
(1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；
(2)设年份代码X＝t－2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率Y与年份代码X的相关情况，并估计2019年贫困发生率.
附：回归直线Y＝的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. (的值保留到小数点后三位)
14. 某数学老师身高177 cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是174 cm，171 cm和183 cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是( B )
附：线性回归方程Y＝中系数计算公式分别为：，其中为样本均值.
A.185 cmB.186 cm
C.187 cmD.188 cm选B.
15. 已知关于变量x，y的一组数据如表所示.
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝；④y＝x. 根据最小二乘法的思想得到拟合程度最好的直线是③ . (填序号)
16. 下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格(单位：千元/吨)数据：
(1)求出Y关于X的线性回归方程；(系数精确到0. 01)
(2)以(1)的结论为依据，预测2032年该原料价格. 预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨?
参考数据：yi＝26. 69，xiyi＝115. 35，≈104. 43，＝140.
参考公式：回归方程Y＝中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
北师大高中数学选择性必修第一册
第七章课时作业49一元线性回归(解析版)
一、选择题
1. 为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是( C )
A.l1与l2一定重合
B.l1与l2一定平行
C.l1与l2相交于点()
D.无法判断l1和l2是否相交
解析：因为两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是，对变量y的观测数据的平均值都是，所以两组数据的样本中心点是()，因为回归直线经过样本的中心点，所以l1和l2都过(). 故选C.
2. 为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，由最小二乘法求得线性回归方程为＝0. 67x＋54. 9. 若已知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( C )
A.75B.155. 4
C.375D.466. 2
解析：由题意，可得＝30，代入线性回归方程，可得＝0. 67×30＋54. 9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5×＝375，故选C.
3. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为Y＝aX－(1－a)，若xi＝5，yi＝8，则a的值为( A )
A.B.
C.D.1
解析：依题意知，而直线Y＝aX－(1－a)一定经过点()，所以a－1＋a＝，解得a＝. 故选A.
4. 为了研究某班学生的数学成绩X(分)和物理成绩Y(分)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出Y与X之间有线性相关关系，设其线性回归方程为Y＝. 已知xi＝750，yi＝800，＝1. 2，该班某学生的物理成绩为86，据此估计其数学成绩约为( B )
A.81B.80
C.93D.94
解析：＝75，＝80，故＝－10，即Y＝1. 2X－10，当Y＝86时，86＝1. 2X－10，解得X＝80. 故选B.
5. 学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
根据上表可得回归方程Y＝中的为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( B )
A.141B.191
C.211D.241
解析：由表格得
＝7. 8，
＝57. 8.
因为回归方程过点()，且＝6，所以57. 8＝6×7. 8＋，解得＝11. 所以回归方程为Y＝6X＋11. 当x＝30 ℃时，Y＝6×30＋11＝191. 故选B.
6. 已知具有线性相关关系的变量X，Y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，线性回归方程为Y＝，若＋…＋＝(6，2)(O为原点)，则＝( B )
A.B.－
C.D.－
解析：因为＋…＋＝(x1＋x2＋…＋x8，y1＋y2＋…＋y8)＝(8，8)＝(6，2)，所以8＝6，8＝2⇒，因此，∴，故选B.
7. (多选题)下列说法错误的有( AD )
A.线性回归方程适用于一切样本和总体
B.线性回归方程一般都有局限性
C.样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围
D.线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求线性回归方程，而且由线性回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此线性回归方程有一定的局限性，所以A、D错误. 故选AD.
8. (多选题)已知具有线性关系的五个样本点A1(0，0)，A2(2，2)，A3(3，2)，A4(4，2)，A5(6，4)，用最小二乘法得到线性回归方程l1：Y＝bX＋a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx＋n，下列结论正确的是( AB )
A.m＞b，a＞n
B.直线l1过点A3
C.(yi－bxi－a)2≥(yi－mxi－n)2
D.｜yi－bxi－a｜≥｜yi－mxi－n｜
解析：由题意可得，＝3，＝2，则＝0. 6，＝0. 2，所以线性回归方程l1为Y＝0. 6X＋0. 2，直线l2的方程为y＝x，即b＝0. 6，a＝0. 2，m＝1，n＝0，故A正确；又3×0. 6＋0. 2＝2，则直线l1过A3，故B正确；因为(yi－bxi－a)2＝0. 8，(yi－mxi－n)2＝9，故C错误；又｜yi－bxi－a｜＝1. 6，｜yi－mxi－n｜＝5，故D错误；综上，正确的是AB.故选AB.
二、填空题
9. 已知变量X，Y线性相关，由观测数据算得样本的平均数＝4，＝5，线性回归方程Y＝bX＋a中的系数b，a满足b＋a＝4，则线性回归方程为Y＝.
解析：由题知，点(4，5)在回归直线上，则4b＋a＝5，又b＋a＝4，所以a＝，b＝，即线性回归方程为Y＝.
10. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出X(单位：万元)与年销售额Y(单位：万元)进行了初步统计，如下表所示，经测算，年广告支出X与年销售额Y满足线性回归方程Y＝6. 4X＋18，则a的值为55. (保留整数)
解析：根据所给数据求出
＝5，
，
∵根据()在线性回归方程Y＝6. 4X＋18上，
∴＝6. 4×5＋18，解得a＝55.
11. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X(单位：小时)与当天投篮命中率Y之间的关系：
小李这5天的平均投篮命中率为0. 5；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0. 53.
解析：小李这5天的平均投篮命中率
×(0. 4 ＋0. 5＋0. 6＋0. 6＋0. 4)＝0. 5，＝3，
＝0. 01，＝0. 5－0. 03＝0. 47. ∴回归方程为Y＝0. 01X＋0. 47，则当X＝6时，Y＝0. 53. ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0. 53.
三、解答题
12. 通过市场调查，得到某种产品的资金投入X(单位：万元)与获得的利润Y(单位：万元)的数据，如表所示：
线性回归方程Y＝中系数计算公式：.
(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程Y＝；
(2)现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元?
解：(1)由题意得
＝4，＝5.
xiyi＝2×2＋3×3＋4×5＋5×6＋6×9＝117，
＝22＋32＋42＋52＋62＝90.
∴＝1. 7，∴＝5－1. 7×4＝－1. 8.
∴线性回归方程为Y＝1. 7X－1. 8.
(2)当X＝10时，Y＝1. 7×10－1. 8＝15. 2(万元)，
∴当投入资金10万元时，获得利润的估计值为15. 2万元.
13. 2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10. 2%下降到2018年底的1. 4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹. “贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：
(1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；
(2)设年份代码X＝t－2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率Y与年份代码X的相关情况，并估计2019年贫困发生率.
附：回归直线Y＝的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. (的值保留到小数点后三位)
解：(1)由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个，
从7个贫困发生率中任选两个共有＝21种情况，
选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有＝3种情况，
∴所求概率为P＝.
(2)由题意得
＝0，＝
＝5. 8，
xiyi＝－3×10. 2－2×8. 5－7. 2＋0＋4. 5＋2×3. 1＋3×1. 4＝－39. 9，
＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∴＝－1. 425，＝5. 8，
∴线性回归方程为
Y＝－1. 425X＋5. 8.
∵－1. 425＜0，∴2012年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1. 425%.
当X＝2 019－2 015＝4时，
Y＝－1. 425×4＋5. 8＝0. 1.
∴2019年的贫困发生率估计为0. 1%.
14. 某数学老师身高177 cm，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是174 cm，171 cm和183 cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是( B )
附：线性回归方程Y＝中系数计算公式分别为：，其中为样本均值.
A.185 cmB.186 cm
C.187 cmD.188 cm
解析：设数学老师孙子的身高为y4根据题意，列表如下：
根据上表第1列到第3列数据可得，
＝174，＝177，
∴ ＝＝＝1，＝177－1×174＝3，
所以线性回归方程为Y＝X＋3，y4＝183＋3＝186. 故选B.
15. 已知关于变量x，y的一组数据如表所示.
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝；④y＝x. 根据最小二乘法的思想得到拟合程度最好的直线是③. (填序号)
解析：列表得
故s1＝(3－3)2＋(4－4)2＋(6－5)2＋(8－6)2＋(9－7)2＝9，
s2＝(3－3)2＋(4－5)2＋(6－7)2＋(8－9)2＋(9－11)2＝7，
s3＝＋(6－6)2＋，
s4＝(3－3)2＋＋(6－6)2＋＋(9－9)2＝，
由s3最小知直线③是拟合程度最好的直线.
16. 下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格(单位：千元/吨)数据：
(1)求出Y关于X的线性回归方程；(系数精确到0. 01)
(2)以(1)的结论为依据，预测2032年该原料价格. 预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨?
参考数据：yi＝26. 69，xiyi＝115. 35，≈104. 43，＝140.
参考公式：回归方程Y＝中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：(1)，
＝4，
＝≈0. 31，
×4≈2. 59，
故回归方程为Y＝0. 31X＋2. 59.
(2)2032年对应的年份代号为20，
由(1)可知，Y＝0. 31×20＋2. 59＝8. 79，
故预测2032年该原料的价格为8. 79千元/吨.
由不等式 0. 31x＋2. 59≥10，
解得x≥23. 90，
故年份代号至少为24时该原料的价格才能突破1万元/吨.
年份代号为24时对应2036年.
故预估该原料在2036年的价格突破1万元/吨.
摄氏温度
－1
3
8
12
17
饮料瓶数
3
40
52
72
122
年广告支出X/万元
2
3
5
7
8
年销售额Y/万元
28
37
a
60
70
时间X
1
2
3
4
5
命中率Y
0. 4
0. 5
0. 6
0. 6
0. 4
资金投入X
2
3
4
5
6
利润Y
2
3
5
6
9
年份(t)
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
贫困发生
率Y(%)
10. 2
8. 5
7. 2
5. 7
4. 5
3. 1
1. 4
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号X
1
2
3
4
5
6
7
平均价格Y
(单位：千元/吨)
2. 96
3. 22
3. 49
3. 70
4. 05
4. 46
4. 81
摄氏温度
－1
3
8
12
17
饮料瓶数
3
40
52
72
122
年广告支出X/万元
2
3
5
7
8
年销售额Y/万元
28
37
a
60
70
时间X
1
2
3
4
5
命中率Y
0. 4
0. 5
0. 6
0. 6
0. 4
资金投入X
2
3
4
5
6
利润Y
2
3
5
6
9
年份(t)
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
贫困发生
率Y(%)
10. 2
8. 5
7. 2
5. 7
4. 5
3. 1
1. 4
父亲身高X/cm
174
171
177
183
儿子身高Y/cm
171
177
183
y4
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
y＝x＋1
3
4
5
6
7
y＝2x－1
3
5
7
9
11
y＝
6
y＝x
3
6
9
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号X
1
2
3
4
5
6
7
平均价格Y
(单位：千元/吨)
2. 96
3. 22
3. 49
3. 70
4. 05
4. 46
4. 81