吉林省长春市南关区2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市南关区2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位，且，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知幂函数的图象过点,则的值为( )
A.0B.C.D.1
4．( )
A.B.C.D.2
5．已知函数,则函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
6．已知函数是R上的偶函数,且的图象关于点对称,当时,,则的值为( )
A.B.C.0D.1
7．下列命题中正确的个数是( )
①命题“,”的否定是“,”;
②函数的零点所在区间是;
③若,则;
④命题,命题,命题p是命题q的充要条件
A.1个B.2个C.3个D.4个
8．已知函数的导函数为,若对任意的,都有,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设实数满足a,b满足,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则以下说法正确的是( )
A.函数在在内只有2个零点
B.
C.函数的图象关于对称
D.恒成立
11．已知是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的点,且,,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.在上的投影向量的长度为
12．已知函数在上有且仅有3个零点,则下列说法不正确的是( )
A.在区间上至多有3个极值点
B.的取值范围是
C.在区间上单调递增
D.的最小正周期可能为
三、填空题
13．已知向量,,若,则__________.
14．已知向量,,如果与的夹角为锐角,则实数的取值范围是__________.
15．曲线在处切线的倾斜角为,则__________.
16．已知，若存在实数使不等式成立，则m的最大值为_______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）若角的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆（圆心为坐标原点）交于点,求的值;
（2）当时,求函数的值域.
18．已知数列是公比的等比数列,前三项和为39,且,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求的前n项和.
19．在①;
②;
③.这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题:
在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件__________（填写所选条件的序号）.
（1）求角C;
（2）若的面积为,D为AC的中点,求BD的最小值.
20．已知函数.
（1）若,求函数的极值;
（2）若直线与曲线相切,求实数a的值.
21．对飞机进行射击,按照受损伤影响的不同,飞机的机身可分为I,II,III三个部分.要击落飞机,必须在I部分命中一次,或在II部分命中两次,或在III部分命中三次.设炮弹击落飞机时,命中I部分的概率是,命中II部分的概率是,命中III部分的概率是,射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机,且每次射击相互独立.
（1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率;
（2）求击落飞机的命中次数X的分布列和数学期望.
22．已知函数,,函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）记,对任意的,恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：，则，所以对应点的坐标为在第三象限，
故选：C.
3．答案：A
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：D
解析：函数是R上的偶函数,
,
的图象关于点对称,
,即,
,
,
函数是R上周期为4的函数,
当时,,
,,
又,,
则,
则,
故选:D.
7．答案：B
解析：
8．答案：C
解析：设,
因为对任意的,都有,
则,
故在R上单调递减,
因为,
所以,
不等式可化为,
即,
所以.
故选:C.
9．答案：BCD
解析：因为,所以,所以,所以,,所以选项A错误,选项B正确;
因为,所以,,且,所以,选项C正确;因为,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选:BCD.
10．答案：AC
解析：
11．答案：BCD
解析：
12．答案：ABD
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：依题意，存在实数使不等式成立，
，，
令，，则存在实数使不等式，，成立.
和的图象如下图所示，
结合图象可知，m取得最大值时，与相切，
由于和关于直线对称，
所以m取得最大值时，与相切于直线（切点相同），如图所示.
，设切点为，则斜率为①.
，设切点为，则斜率，
则，，
将代入①得，即，
所以，，
故答案为：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）角的终边与单位圆交于点
,,
.
（2）
.
,,.
故函数的值域为.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意得:
则解得
可得
解得或（舍去）故
（2）由（1）得
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①:,,
,
,
,
,;
选②:,,,
,,
,,
选③:,,
,
,,,;
（2）,又,,
在三角形BCD中,
,当且仅当时取等号,
的最小值为
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,,
则定义域为,;
当时,;当时,;
在,上单调递增,在上单调递减;
的极大值为;极小值为.
（2）假设与相切于点,
,,即,
又,,即;
令,则,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,,即有唯一解:,
,解得:.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设恰好第二次射击后击落飞机为事件A是第一次未击中I部分,在第二次击中I部分的事件与两次都击中II部分的事件的和,它们互斥,
所以.
（2）依题意,X的可能取值为1,2,3,4,
的事件是射击一次击中部分的事件,,由（1）知,,
的事件是前两次射击击中II部分､III部分各一次,第三次射击击中I部分或II部分的事件,与前两次射击击中III部分,第三次射击击中I部分或III部分的事件的和,它们互斥,,
的事件是前三次射击击中II部分一次,III部分两次,第四次射击的事件,
,
所以X的分布列为:
X的数学期望.
22．答案：（1）
（2）
解析：且,令,,
,,
所以,所以的单调递增区间为,
,,
所以的单调递减区间为.
（2）,且,
,令,,
令,所以在上单调递增,
①若,,所以在上单调递增,
所以,所以恒成立.
②若,,,所以存
,使,且,,,所以,不合题意.
综上,.
X
1
2
3
4
P