江苏省连云港市赣榆第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省连云港市赣榆第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若集合,,则集合B的真子集个数为( )
A.5B.6C.7D.8
2．已知集合,,若,则( )
A.B.0C.1D.2
3．已知全集,且,,则( )
A.B.C.D.
4．已知,若集合,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．命题,的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
6．若则下列不等式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
7．若方程的两根为、,则( )
A.B.C.35D.
8．不等式的解集为或,则的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知,如果实数满足对任意的,都存在,使得,则称为集合A的“开点”,则下列集合中以0为“开点”的集合有( )
A.B.
C.D.
10．设,,若,则实数a的值可以是( )
A.0B.C.4D.1
11．已知a,b为正实数,且,,,则( )
A.的最大值为4B.的最小值为
C.的最小值为D.的最小值为2
12．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
三、解答题
13．已知全集,集合,,
(1)分别求,;
(2)若,求a的取值范围;
(3)若,求a的取值范围.
14．已知集合或,.
(1)求,;
(2)若集合是集合A的真子集,求实数k的取值范围.
15．已知集合A中的元素全为实数,且满足：若,则.
(1)若,求出A中其他所有元素.
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数,再求出A中的元素.
16．已知集合,.
(1)若,求实数m的取值范围;
(2)若将题干中的集合B改为,是否有可能使命题 “,都有”为真命题,请说明理由.
17．已知,.
(1)若,p,q有且只有一个为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
18．已知关于x的不等式的解集为M.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若M中的一个元素是0,求实数a的取值范围.
19．计算下列各式的值：
(1);
(2).
20．在乡村振兴的道路上,某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后,为他家量身定制了致富计划,政府无息贷款10万元给该农户养羊,每万元可创造利润万元.进行技术指导后,养羊的投资减少了万元,且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为万元,其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值.
21．已知集合,,函数.
(1)求集合A.
(2)若,,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
(3)若不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围
(4)当时,求关于x的不等式的解集
22．设n为正整数,集合.对于集合A中的任意元素和,记.
(1)当时,若,,求和的值;
(2)当时,设B是A的子集,且满足：对于B中的任意元素,当,相同时,是奇数;当,不同时,是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(3)给定不小于2的n,从集合中任取个两两互不相同的元素,,.证明：存在,使得.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知,所以集合B的真子集个数为个.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意可知,两集合元素全部相等,得到或,
又根据集合互异性,可知,解得舍去,
所以解得,
所以,
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,且,
所以,
因为,,所以,
所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：若,则,所以,故充分性满足;
若,则或3,显然必要性不满足;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：C
解析：由存在量词命题的否定形式可知：
命题,的否定为：,.
故选：C.
6．答案：B
解析：对于A,取,,则,选项A错误;
对于B,由于函数在上单调递增,
又,则,选项B正确;
对于C,取,,则,选项C错误;
对于D,,,则,选项D错误.
故选：B.
7．答案：D
解析：,分解因式得到,
则,则.
则或.则.
故选：D.
8．答案：A
解析：不等式可转化为,
其解集为或,
所以,且方程的两个根为,,
则 或,解得或（舍去）,
即有,即,解得.
所以不等式的解集为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A,对任意的,存在,使得,故A正确;
对于B,假设集合以0为“开点“,则对任意的,存在,
使得,当时,该式不成立,故B错误;
对于C,假设集合以0为“开点“,则对任意的,存在,
使得,故C正确;
对于D,集合,当时,,
时,使得不成立,故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：,因为,所以,所以或或或,
若,则;
若,则;
若,则;
若,无解.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：对于A,因为,则,,
当且仅当时取“＝”,所以ab的最小值为4,A错误;
对于B,由,得,,
当且仅当,时取“＝”,B正确;
对于C,,
当且仅当时,取“＝”,C错误;
对于D,因为,所以,
则,当且仅当时,取“＝”,D正确.
故选：BD.
12．答案：BCD
解析：对于A选项,若,则,故A选项错误;
对于B选项,,
由于,故,,故,
即,故B选项正确;
对于C选项, , ,,
,
当且仅当时等号成立,故C选项正确;
对于D选项,因为,,,根据基本不等式,
,
当且,即时取得等号,
此时,故D选项正确.
故选：BCD.
13．答案：(1),或
(2)
(3)
解析：(1)集合
,或,
或
(2),,
①当时,,
②当时,则,
解得,
综上所述,a的取值范围为;
(3)若,
①当时,,
②当时,或,
或,
综上所述,若,则a的取值范围为,
所以若,则a的取值范围.
14．答案：(1),或
(2)或
解析：(1),
则,
,或,
或;
(2)集合是集合A的真子集,
或,解得或.
15．答案：(1)A中其他所有元素为,,2;
(2)0不是A的元素,当,A中的元素是：3,,,.
解析：(1)由题意可知：,
则,,,,
所以A中其他所有元素为,,2.
(2)假设,则,
而当时,不存在,假设不成立,
所以0不是A的元素,
取,则,,,,
所以当,A中的元素是：3,,,.
16．答案：(1)
(2)不可能,理由见解析
解析：(1)因为,
所以或或,
解得或或,
所以;
(2)若,,
对,都有,则,
所以,该不等式组无解,
故命题“,都有”为真命题不可能.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)对于,解得：,
当时,则,
若,p,q有且只有一个为真命题,则p真q假,或p假q真;
当p真q假时,即,无解;
当p假q真时,,解得：或,
综上,实数x的取值范围为
(2)因为q是p的充分不必要条件,则是的真子集;
则或,解得：或,
综上,实数m的取值范围为
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)因为是不等式的解集,
所以,
不等式,即为,
所以或,
所以不等式的解集是;
(2)不等式转化为： ,
因为M中的一个元素是0,
所以,
解得或,
所以实数a的取值范围是 .
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)原式
;
(2)原式
20．答案：(1).
(2).
解析：(1)由题意,得,
整理得,解得,又x>0,
所以,故x的取值范围为.
(2)由题意知网店销售的利润为万元,
技术指导后,养羊的利润为万元,
则恒成立.
又,则恒成立.
又,当且仅当时,等号成立,
,即a的最大值为6.5.
21．答案：(1);
(2)或;
(3)
(4)答案见解析.
解析：(1)由,得,解得,
所以.
(2)解不等式,得或,即或,
由是的充分不必要条件,得集合A为集合B的真子集,
则,或,
解得或,
所以实数m的取值范围是或.
(3)不等式,
依题意,对恒成立,当时,恒成立,因此,
当时,,解得,
所以实数a的取值范围是.
(4)不等式,即,
当时,;
当时,,解得;
当时,,解得或;
当时,,
当时,,,解得或,
所以当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
22．答案：(1)2,1;
(2)最大值为4个;
(3)证明见解析.
解析：(1)因为,
所以,
.
(2)设,,
令,其中,()
则,,
,则,
当,且()时,
由题意知,是奇数,(,不同)是偶数,等价于是奇数,(,不同)是偶数.
若是奇数时,则中等于1的个数为1或3,
所以,
且.
将上述集合中的元素分成如下四组：
,,,,,,,
经检验,每组中两个元素,,均有,
所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素.
所以集合中元素的个数不超过4个.
当且时,或3,所以
又集合,,,满足条件.
所以集合B中元素个数最大值为4个.
(3)设,
,
,
则且,
从集合A中任取个两两互不相同的元素,
若存在两个不同元素,A同时属于一个,则,
记,,
所以,存在,使得;
若任意两个不同元素,都不同时属于一个,
则至多取个两两互不相同的元素,与已知取个两两互不相同的元素矛盾.
综上,存在,使得.