新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）09 导数中的极值点偏移问题（2份打包，原卷版+含解析）

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极值点偏移基本定义
对于函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内只有一个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上极值点 SKIPIF 1 < 0 偏移.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上极值点 SKIPIF 1 < 0 向左偏移，简称极值点左偏.
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上极值点 SKIPIF 1 < 0 向右偏移，简称极值点右偏.
如上图所示， SKIPIF 1 < 0 为函数的极值点， SKIPIF 1 < 0 处对应的曲线的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0
由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。
当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有 SKIPIF 1 < 0 ；
当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有 SKIPIF 1 < 0 。
当函数图像为凹函数，且极值点左偏时， SKIPIF 1 < 0 ；
当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有 SKIPIF 1 < 0 。
如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处对应的函数值相等，我们可以作 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故我们可以构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，只需要判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足 SKIPIF 1 < 0 ，我们就可以得到 SKIPIF 1 < 0 。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。
二、答题模板（对称构造）
若已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求证： SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性并求出 SKIPIF 1 < 0 的极值点 SKIPIF 1 < 0 ；
假设此处 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）构造 SKIPIF 1 < 0 ；
注：此处根据题意需要还可以构造成 SKIPIF 1 < 0 的形式.
（3）通过求导 SKIPIF 1 < 0 讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性，判断出 SKIPIF 1 < 0 在某段区间上的正负，并得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系；
假设此处 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，那么我们便可得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
（4）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，通过 SKIPIF 1 < 0 的单调性， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系得出结论；
接上述情况，由于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 得证.
（5）若要证明 SKIPIF 1 < 0 ，还需进一步讨论 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小，得出 SKIPIF 1 < 0 所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 .
三、其他方法
1.比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 SKIPIF 1 < 0 表示)表示两个极值点，即 SKIPIF 1 < 0 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数问题求解．
2.对数均值不等式
两个正数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对数平均定义： SKIPIF 1 < 0
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： SKIPIF 1 < 0 （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
3.指数不等式
在对数均值不等式中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据对数均值不等式有如下关系： SKIPIF 1 < 0
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【题型训练1-刷真题】
1.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ,求a的取值范围；
（2）证明：若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不相等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【题型训练2-刷模拟】
1.对称构造
一、解答题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，a为实数．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间和最大值；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 有两个零点时，分别设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试判断 SKIPIF 1 < 0 与2的大小关系，并证明.
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)试讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），求证： SKIPIF 1 < 0 ．
2.比值代换
一、解答题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 无零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 有两个相异零点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，证明： SKIPIF 1 < 0 .
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点， SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不相同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 .证明： SKIPIF 1 < 0 .
3.含指数、对数式
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有两个不等的极值点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
3.已知函数 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点．
求证： SKIPIF 1 < 0
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．