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新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）10 导数中的隐零点问题（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）10 导数中的隐零点问题（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练10导数中的隐零点问题原卷版doc、新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练10导数中的隐零点问题含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 SKIPIF 1 < 0 ，并结合 SKIPIF 1 < 0 的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数 SKIPIF 1 < 0 的正负，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的最值表达式；
第3步：将零点方程 SKIPIF 1 < 0 适当变形，整体代入 SKIPIF 1 < 0 最值式子进行化简，要么消除 SKIPIF 1 < 0 最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到 SKIPIF 1 < 0 最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上连续，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么在开区间 SKIPIF 1 < 0 内至少有函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，即至少有一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如： SKIPIF 1 < 0
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解析：（1）切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故切线与坐标轴交点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ,所求三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 . 设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 成立.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∴存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 不是恒成立.综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根.令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有两个零点时，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 原命题等价于 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立
SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立.令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0
由①知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极大值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 QUOTE ．
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点1，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的唯一极大值点．由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值点，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极小值．
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 有且只有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在区间 SKIPIF 1 < 0 递减；
在区间 SKIPIF 1 < 0 递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 递减；
在区间 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 递增．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减；在区间 SKIPIF 1 < 0 递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值也即最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
根据零点存在性定理可知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 各有 SKIPIF 1 < 0 个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值0；
（2）由已知得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内大于零恒成立，∴函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 为单调递增，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，
∴ SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
4.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数.证明： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极小值点；
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由已知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上图象连续
不断.所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的极小
值点，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的极小值点；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 所以一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 与题意不符，舍去.
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，等号仅在 SKIPIF 1 < 0 时取得，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，等号仅在 SKIPIF 1 < 0 时取得，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是R上的增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在唯一解 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，存在x使得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立矛盾，
综上，a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 零点个数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可画出 SKIPIF 1 < 0 大致图象如图，
所以（i）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点：
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个零点；
（iii)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点；
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .
i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
ii）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由上可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，a的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 有唯一极值点t，且 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因此 SKIPIF 1 < 0 有唯一极小值点t；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 有唯一极值点t，且 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求a，b的值；
(2)若对于 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)将切点坐标 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有唯一的公共点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个根，且两根之和为 SKIPIF 1 < 0 ，两根之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两根一个大于4，一个小于4，此时，函数 SKIPIF 1 < 0 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使 SKIPIF 1 < 0 有唯一实数根，则 SKIPIF 1 < 0 大于极大值或小于极小值.
记 SKIPIF 1 < 0 为极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则极大值 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
综上，要使对 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 都有唯一的公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为极小值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单减，无最小值，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 SKIPIF 1 < 0 ，并结合 SKIPIF 1 < 0 的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数 SKIPIF 1 < 0 的正负，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的最值表达式；
第3步：将零点方程 SKIPIF 1 < 0 适当变形，整体代入 SKIPIF 1 < 0 最值式子进行化简，要么消除 SKIPIF 1 < 0 最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到 SKIPIF 1 < 0 最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上连续，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么在开区间 SKIPIF 1 < 0 内至少有函数 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，即至少有一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如： SKIPIF 1 < 0
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解析：（1）切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,故切线与坐标轴交点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ,所求三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 . 设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 成立.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∴存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 不是恒成立.综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 有两个相异实根.令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有两个零点时，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 原命题等价于 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立
SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立.令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单增，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0
由①知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极大值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 QUOTE ．
解析：（1） SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 有唯一零点1，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的唯一极大值点．由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值点，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极小值．
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 有且只有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在区间 SKIPIF 1 < 0 递减；
在区间 SKIPIF 1 < 0 递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 递减；
在区间 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 递增．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减；在区间 SKIPIF 1 < 0 递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值也即最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
根据零点存在性定理可知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 各有 SKIPIF 1 < 0 个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3.已知函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值0；
（2）由已知得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内大于零恒成立，∴函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 为单调递增，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，
∴ SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
4.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数.证明： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极小值点；
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由已知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上图象连续
不断.所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的极小
值点，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一的极小值点；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 所以一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 与题意不符，舍去.
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，等号仅在 SKIPIF 1 < 0 时取得，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，等号仅在 SKIPIF 1 < 0 时取得，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是R上的增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在唯一解 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，存在x使得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立矛盾，
综上，a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 零点个数；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可画出 SKIPIF 1 < 0 大致图象如图，
所以（i）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点：
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一个零点；
（iii)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个零点；
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .
i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
ii）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
有 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由上可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，a的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 有唯一极值点t，且 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因此 SKIPIF 1 < 0 有唯一极小值点t；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 有唯一极值点t，且 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求a，b的值；
(2)若对于 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)将切点坐标 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有唯一的公共点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个根，且两根之和为 SKIPIF 1 < 0 ，两根之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两根一个大于4，一个小于4，此时，函数 SKIPIF 1 < 0 先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使 SKIPIF 1 < 0 有唯一实数根，则 SKIPIF 1 < 0 大于极大值或小于极小值.
记 SKIPIF 1 < 0 为极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则极大值 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
综上，要使对 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 都有唯一的公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为极小值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单减，无最小值，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
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