新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）11 导数中的不等式证明问题（2份打包，原卷版+含解析）

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一、不等式的证明
证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.
②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）.
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．
【常用结论】
1.破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式 SKIPIF 1 < 0 等常见形式
2.常见不等式（大题使用需要证明）
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
⑤ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
⑥ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明 SKIPIF 1 < 0
【典例2】 SKIPIF 1 < 0 求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【典例3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．证明: SKIPIF 1 < 0 ．
2．设a，b为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
(注： SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点，证明：
（ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练2-刷模拟】
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的零点个数；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，记 SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与1的大小关系，并说明理由.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 的导函数在 SKIPIF 1 < 0 上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
注： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 存在两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处的切线交于点 SKIPIF 1 < 0 .
①求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
②证明： SKIPIF 1 < 0 .
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)试判断函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试问曲线 SKIPIF 1 < 0 是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）