新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）26 立体几何中的轨迹问题（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）26 立体几何中的轨迹问题（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练26立体几何中的轨迹问题原卷版doc、新高考数学二轮考点培优专题精讲+精练26立体几何中的轨迹问题含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,如图②.
当 SKIPIF 1 < 0 时,截口曲线为椭圆;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,截口曲线为抛物线;
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点 SKIPIF 1 < 0 .在截口曲线上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作圆雉的母线,分别与两球切于点 SKIPIF 1 < 0 .由球的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 为定值,这样截口曲线上的任一点 SKIPIF 1 < 0 到两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点 SKIPIF 1 < 0 .在截口曲线上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作圆雉的母线,分别与两球切于点 SKIPIF 1 < 0 .由球的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 为定值,这样截口曲线上的任一点 SKIPIF 1 < 0 到两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线 SKIPIF 1 < 0 且垂直于轴截面 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面 SKIPIF 1 < 0 相切,球与截面切于点 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记 SKIPIF 1 < 0 .在截口曲线上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,作直线与球相切于点 SKIPIF 1 < 0 ,连结 SKIPIF 1 < 0 ,有 SKIPIF 1 < 0 .在母线 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与球的切点),使得 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,有点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 .另一方面,因为平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直,那么 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,有 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .于是截口曲线是以点 SKIPIF 1 < 0 为焦点, SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线.
二、题型精讲精练
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 aB． SKIPIF 1 < 0 aC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，Q是正方形 SKIPIF 1 < 0 内的动点， SKIPIF 1 < 0 ，则Q点的轨迹是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 B．线段 SKIPIF 1 < 0 C．线段 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0
2.距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【典例4】正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的一个点（包括端点）， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 上一动点，满足直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 夹角与直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的夹角相等，则点 SKIPIF 1 < 0 所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
3.翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 SKIPIF 1 < 0 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得 SKIPIF 1 < 0 与小球相切．若 SKIPIF 1 < 0 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练2-刷模拟】
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．）正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为2，高为2，E是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点P在表面上运动，并且总保持 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
2．在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为正四棱柱表面上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在棱长为4的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在正方体 SKIPIF 1 < 0 的表面上运动，满足 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹所构成的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如图所示，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，点P是正方体表面上的动点，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在正方体的表面上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 可以是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点B．线段 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是正方形D．点 SKIPIF 1 < 0 轨迹的长度为 SKIPIF 1 < 0
6．已知棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点 SKIPIF 1 < 0 在正方体内部或表面上，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
7．如图， SKIPIF 1 < 0 为圆柱下底面圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 是下底面圆周上一点，已知 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的高为5．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆柱表面上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹所围成图形的面积为 ．
8．已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，动点P在 SKIPIF 1 < 0 内，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹长度为 ．
9．若点 SKIPIF 1 < 0 是棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 的内切球 SKIPIF 1 < 0 的球面上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则动 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹的长度为 ．
2.距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在四边形 SKIPIF 1 < 0 内，且直线BP与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 SKIPIF 1 < 0 ，球体O表面上动点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．若该正方体外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为 SKIPIF 1 < 0 ，若该三棱锥的外接球O的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面上的动点，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为定值 SKIPIF 1 < 0 ， 则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
7．棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是侧面 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是线段；
②若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ．所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上移动时， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．）在棱长为3的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则正方体表面到 SKIPIF 1 < 0 点距离为 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹总长度为 .
9．已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，若顶点 SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为4，且三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足上述条件的顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度是 ．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 为正方体 SKIPIF 1 < 0 的内切球球面上的动点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，若动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，则正方体的体积是 .
3.翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的各边长为 SKIPIF 1 < 0 .如图所示，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，使得点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球上运动，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向上翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ②． SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值之比为 SKIPIF 1 < 0
④三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，没有最大值
A．①③B．②③C．①③④D．①②③
3．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A．B．C．D．