新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（2份打包，原卷版+含解析）

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一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式
1.如图1所示， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
证明：如图，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ． ①
由椭圆定义知： SKIPIF 1 < 0 ， ②
则②·2－①得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
2.如图2所示， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
证明：如图，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出 SKIPIF 1 < 0 的三边长之比或内角正弦值之比.
公式： SKIPIF 1 < 0
2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出 SKIPIF 1 < 0 的三边长之比或内角正弦值之比.
公式： SKIPIF 1 < 0 .
二、题型精讲精练
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点P在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为________.
【典例2】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为________.
【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【典例4】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P在C上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为_______.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、填空题
1.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P在C上且 SKIPIF 1 < 0 轴，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率为_______.
2.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.
3.过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为_______.
4.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.
5.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.
6.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率为_______.
7.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.
8.过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.
9.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于A、B两点， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率为_______.
10.设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与椭圆的4个交点和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.
11.已知P、Q为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点，点P在第一象限， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.
②综合应用
一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．5
2．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的面积为9，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 内切圆半径的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，并满足 SKIPIF 1 < 0 面积等于4，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．已知一个离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在椭圆上存在一个点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．设O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 P在C上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．设F1，F2是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若 SKIPIF 1 < 0 PF1F2的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，若在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点，点M在椭圆E上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的离心率e的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的一个动点，若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
14． SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点, SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是其左右焦点,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 .
15．设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是该椭圆的两个焦点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，若 SKIPIF 1 < 0 中有一个角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 ．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则椭圆的标准方程为 ．
18．已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，第一象限点P在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 .
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
20． SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于顶点的一点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积的3倍，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 使三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
2.双曲线中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、单选题
1.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点M在E上， SKIPIF 1 < 0 与x轴垂直， SKIPIF 1 < 0 ，则E的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.2
二、填空题
2.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
3.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P在C上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为_______.
4.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.
5.过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
②综合应用
一、单选题
1．已知：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为其右支上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为双曲线上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积等于（ ）
A．6B．12C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．设F1，F2是双曲线C: SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P是双曲线C上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且△PF1F2的面积为9，则C的离心率等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若双曲线上一点P使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点（不同于左，右顶点），且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线的左支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的一条渐近线， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．11B．12C．14D．16
10．已知过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线分别交双曲线左､右两支于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线的右焦点， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作一条直线与双曲线右支交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
12．若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点M在双曲线上，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为20，则 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 .
13．双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 与两焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的连线互相垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是 .
14．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则双曲线的离心率e为 .
15．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 与渐近线为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线有相同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，P为它们的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 .
17．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点A在C上，点B在y轴上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 ．