新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）33 曲线的轨迹方程问题（2份打包，原卷版+含解析）

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一、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 SKIPIF 1 < 0 与方程 SKIPIF 1 < 0 之间有以下两个关系：
①曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点的坐标都是方程 SKIPIF 1 < 0 的解；
②以方程 SKIPIF 1 < 0 的解为坐标的点都是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点．
此时，把方程 SKIPIF 1 < 0 叫做曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，曲线 SKIPIF 1 < 0 叫做方程 SKIPIF 1 < 0 的曲线．
二、求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
三、求轨迹方程的方法
1.定义法
如果动点 SKIPIF 1 < 0 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2.代入法（相关点法）
如果动点 SKIPIF 1 < 0 的运动是由另外某一点 SKIPIF 1 < 0 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示出相关点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后把 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程。
3.交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
4.参数法
动点 SKIPIF 1 < 0 的运动主要是由于某个参数 SKIPIF 1 < 0 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即 SKIPIF 1 < 0 ，再消参.
5.点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等关系式，由于弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得弦 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程.
二、题型精讲精练
【典例1】已知点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为M，且PM的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，且与定直线 SKIPIF 1 < 0 相切，设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由题可知，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 右侧，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与定直线 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（单选题）设 SKIPIF 1 < 0 分别是直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选: A.
【典例4】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵点 SKIPIF 1 < 0 在C上，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【典例5】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 满足上述方程，故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 .
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．平面直角坐标系中点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．不存在
【答案】A
【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，表示点 SKIPIF 1 < 0 到两点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为2，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹就是线段 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．一动圆 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且与已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，则动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，符合双曲线的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】解：已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
动圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
当两圆外切时： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当两圆内切时： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 SKIPIF 1 < 0 =2，则点C的轨迹为（ ）
A．椭圆B．射线C．圆D．直线
【答案】C
【分析】建立合适的平面直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 以及向量数量积的坐标形式求解出 SKIPIF 1 < 0 满足的关系式，即可判断出轨迹形状.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 是两个定点，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以点C的轨迹为圆.
故选：C.
4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
正方形ABCD的面积为16，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
故选：B
5．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 .线段 SKIPIF 1 < 0 的端点B在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】建立点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 之间的关系式，再利用点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足的关系式得到点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将上式代入可得， SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆E上一动点，G点是三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形的重心坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 可得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，G点是三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是椭圆E上一动点， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又G点是三角形 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0
所以点G的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
7．将 SKIPIF 1 < 0 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，得到曲线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据变换法则可得曲线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用点差法求解直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与方程即可.
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，则设曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，即曲线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
利用点差法有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8．已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意有 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上一动点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程.
【详解】解：建立以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为x轴，以线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线为y轴的直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故动点M的轨迹是双曲线.

故选：D.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴上的两个顶点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线B．抛物线
C．椭圆D．两条互相垂直的直线
【答案】A
【分析】由题意设出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 坐标，然后求出直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，从而得到点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，进而得解.
【详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴上的两个顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上.
故选：A.
11．已知点P是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设出中点 SKIPIF 1 < 0 ，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：

不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 ；
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
又线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，代入方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，设双曲线的两条渐近线分别为直线 SKIPIF 1 < 0 ；若点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得到轨迹方程.
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
从而其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则M的轨迹C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由两点间距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据题中条件，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线的定义，即可得出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的下支，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
故选：A.
【点晴】方法点睛：
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 SKIPIF 1 < 0 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 .
二、填空题
14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，那么点M的轨迹是 ．
【答案】椭圆
【分析】根据两点间距离公式，即可判断点 SKIPIF 1 < 0 轨迹满足椭圆的定义.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可看作M（x，y）到 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以点M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆.
故答案为：椭圆
15．平面上一动点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点C的轨迹E的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据同角平方和关系消参即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于 SKIPIF 1 < 0 ，则C的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点坐标，直接根据题中等量列方程即可求解.
【详解】设P（x，y），由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．已知圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上移动的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 两个动点，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 为该动圆的直径, SKIPIF 1 < 0 ，可列等式得方程.
【详解】因为动圆圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上移动，且该动圆始终经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为该动圆的直径,
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在该动圆上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．已知点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴上运动， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 方程是 ；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，在根据 SKIPIF 1 < 0 ，转化为平面向量关系建立方程组，建立 SKIPIF 1 < 0 间的关系，代入 SKIPIF 1 < 0 中化简即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 代入①
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
19．已知点A SKIPIF 1 < 0 ，B SKIPIF 1 < 0 ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹C的方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意列出方程，化简可得答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故动点P的轨迹C的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据点点距离即可列方程化简求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
21．已知圆M与圆C1： SKIPIF 1 < 0 和圆C2： SKIPIF 1 < 0 一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据内切和外切的性质及双曲线的定义得到点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为双曲线，然后求方程即可.
【详解】当圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，与圆 SKIPIF 1 < 0 外切时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 内切时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为双曲线，设轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
22．已知点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长至 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求动点Q的轨迹方程 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设出动点 SKIPIF 1 < 0 和相关点 SKIPIF 1 < 0 ，再根据条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再代入即可得出结果.
【详解】设动点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，点P坐标 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点Q的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线段 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上运动时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标用点 SKIPIF 1 < 0 表示，再利用相关点法即可得解.
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，O为原点，M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】先设点 SKIPIF 1 < 0 ,再由 SKIPIF 1 < 0 应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 ，而点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以点M的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0
25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点N作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，M与 SKIPIF 1 < 0 不重合，N与 SKIPIF 1 < 0 不重合，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点T的轨迹方程是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可以知道点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标和纵坐标之间的关系， SKIPIF 1 < 0 可以求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而根据已知的条件，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，通过 SKIPIF 1 < 0 ，可以得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 的坐标之间的关系，再根据点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）.
26．自 SKIPIF 1 < 0 引圆 SKIPIF 1 < 0 的割线ABC，则弦 SKIPIF 1 < 0 中点P的轨迹方程 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，利用斜率列出方程，再考虑 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时割线ABC的中点为原点，代入①式，也成立，

故弦 SKIPIF 1 < 0 中点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 （在圆 SKIPIF 1 < 0 内部分），
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
27．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 中点坐标，设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹上任一点的坐标，即得 SKIPIF 1 < 0 ，消去参数，可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹上任一点的坐标，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
28．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 中垂直于长轴的动弦， SKIPIF 1 < 0 是椭圆长轴的两个端点，则直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 三点共线及 SKIPIF 1 < 0 三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上即可得出答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴端点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
两式相乘得 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）,
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
29．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出交点坐标，再将抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 联立，结合韦达定理可得轨迹方程.
【详解】由焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，可得抛物线 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
联立直线与抛物线方程： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
30．直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 且交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线对称轴的平行线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．分别过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线的方程联立，求出抛物线在点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，求出两切线的交点坐标，可得出交点的轨迹方程.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，不合乎题意.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线斜率存在且不为 SKIPIF 1 < 0 ，
设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得两条切线的交点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以两条切线的交点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且 SKIPIF 1 < 0 ，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹是开口向左的抛物线．
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解.
【详解】由条件可知，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此点A的横坐标为4．
设P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．因此
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即动点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．
32．在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为坐标系内一点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的乘积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(2)说明点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知：点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.
33．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点M的轨迹方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，写出直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，利用 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可得到结果.
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程可知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有：
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
34．已知 SKIPIF 1 < 0 的斜边为AB，且 SKIPIF 1 < 0 .求:
(1) SKIPIF 1 < 0 外接圆的一般方程;
(2)直角边 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据直角三角形外接圆性质求解圆心和半径， 从而计算出外接圆的一般方程;
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据M是线段BC的中点，得到 SKIPIF 1 < 0 然后根据 SKIPIF 1 < 0 即可求得动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】（1）由题意知，设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故圆的方程为： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 外接圆的一般方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ，由此解得： SKIPIF 1 < 0
因为C为直角，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
代入解得： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
配方得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0 .
35．已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明:直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两个交点分别为A、 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】(1)证明过程见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，故证明出结论；
（2）联立直线与圆的方程，设出 SKIPIF 1 < 0 ，得到两根之和，两根之积，进而表达出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，消去参数 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，注意去掉原点.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆内，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交；
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相除可得： SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，消去 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即去除原点，
则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
36．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 分别在椭圆 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得 SKIPIF 1 < 0 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出直线OQ的方程，定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，判断出点 SKIPIF 1 < 0 始终在以OF为直径的圆上，即可求解 .
【详解】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ，
从而椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AP的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线OQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又M是AP的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ①
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
代入式①可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 始终在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，且该圆方程为 SKIPIF 1 < 0
37．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线与 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的同侧），求直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 三点共线 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量数量积的坐标表示即可求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此解出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，进而得到直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴同侧，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
两式联立代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
38．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线右支上除右顶点之外的一点．若该双曲线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点且过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 内切圆圆心的轨迹方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据双曲线定义和圆的切线定理可得所求轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，再由已知列方程组即可求得a，即得方程.
【详解】解：如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，

设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为双曲线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点且过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 内切圆圆心的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
39．已知点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的定点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆内一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解，
（2）根据直角三角形的性质，结合勾股定理即可由点点距离求解.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由中点坐标公式可知， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 点在圆 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故线段 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．

（2）设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故线段 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．

40．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上､下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的动点，记 SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是定值，并求出该定值；
(2)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据两点斜率公式以及点在椭圆上，即可代入化简求解，
（1）根据垂直关系求解斜率关系，联立直线方程得交点坐标即可求解.
【详解】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ,
设点 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，为定值.
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ①.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ②
由①②联立可得： SKIPIF 1 < 0 ，
代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0
41．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的最小面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）当圆心在原点时，此时半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆的面积最小是解题的关键；
（2）设出直线MN的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出交点即可求解.
【详解】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为以E为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的最小面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①．
同理可得切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ②．
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入①得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点睛：利用设而不求的方法，设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，通过转化化简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法.
42．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过 SKIPIF 1 < 0 ，经过定点 SKIPIF 1 < 0 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
（2）联立直线方程结合 SKIPIF 1 < 0 求点P的横坐标．
【详解】（1）
根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴求椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）
根据题意可得直线AE： SKIPIF 1 < 0 ，BF： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故 SKIPIF 1 < 0 共线，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，整理得到： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，这与题设矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 .
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
43．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由椭圆的相关概念及离心率求解即可；
（2）设出动点P的坐标，求出切线方程，联立方程组由 SKIPIF 1 < 0 求解即可（注意分类讨论）.
【详解】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，
①当两条切线斜率均存在时，设其中一条切线为 SKIPIF 1 < 0 ，另一条为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不等实根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵两条切线相互垂直，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
②当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，
P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 亦成立，
综上所述，点P的轨迹方程为： SKIPIF 1 < 0 .
44．已知拋物线 SKIPIF 1 < 0 ，过其焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直且不平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线，分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点 SKIPIF 1 < 0 坐标，即可求解直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）首先设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并利用直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的关系，求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求解点 SKIPIF 1 < 0 ，再通过消参求得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，中点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，中点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
化简为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
45．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，延长 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意，得到点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与双曲线方程联立，求出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，再代入双曲线方程中即可求解；
（2）对直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与双曲线方程联立，结合根与系数的关系以及三点共线的定义进行求解即可．
【详解】（1）易知 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
又点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知：直线 SKIPIF 1 < 0 不可能平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，

由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，
由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 可得圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直径为2，
故圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,则直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ;
若直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为定值),则直线过定点 SKIPIF 1 < 0