江苏省连云港市锦屏高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市锦屏高级中学2024-2025学年高一上学期开学质量检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意；
当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；
若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，
综上：实数a满足.
故选：D
2. 设集合，则，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出m的范围即可
【详解】∵，
∴，
①时，，解得；
②时，，解得，
∴实数的取值范围是．
故选：B．
3. 对于集合，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
4. 命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.
【详解】命题“，”为假命题，
即命题“，”为真命题，
则，解得，
对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误；
对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误；
对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确；
对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误.
故选：C.
5. 已知，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.
【详解】因为是真命题，
所以方程有实数根，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故选：B.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【详解】由换底公式得：，，其中，，故
故选：C
7. 农业农村部于年月日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的倍．（参考数据：，，，．）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为，设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，
则，，，
,大约经过天能达到最初的倍．
故选：A
8. 设为实数，，若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当时，不合题意；当时，，由此能求出的取值范围．
【详解】当时，，
，解得，不合题意；
当时，
不等式的解集为，，
，
解得．
的取值范围是．
故选：B
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.
【详解】当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
10. 群论是代数学分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A. 关于数的乘法构成群
B. G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C. 实数集关于数的加法构成群
D. 关于数的加法构成群
【答案】CD
【解析】
【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.
【详解】对于A：若，对所有的a、，有，
满足乘法结合律，即①成立，满足②为1，
但当时，不存在，使得，即③不成立，
即选项A错误；
对于B：因为，且，但，
所以选项B错误；
对于C：若，对所有的a、，有，
满足加法结合律，即①成立，满足②的为0，
，，使，即③成立；
即选项C正确；
对于D：若，所有的、，
有，成立，
即①成立；当时，，满足的，即②成立；
，，使，即③成立；
即选项D正确.
故选：CD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 是的既不充分也不必要条件
B. “”是“”的既不充分也不必要条件
C. 若a，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D. “”是“”的充要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不能互相推出的情况判断A，举例说明可判断B，根据互相推出判断C；举例说明可判断D.
【详解】因为不能推不出，比如，而时，也不能推出，比如，所以是成立的既不充分也不必要条件，故A正确；
因为不能推出，比如，但是；不能推出，比如，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；
因为，能推出a，b不全为0，a，b不全为0也能推出，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；
D．不能推出，比如，满足，但是不满足，所以必要性不满足，故D错误；
故选：ABC
12. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是或x>12
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或x>12，所以D正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 已知集合，，若，则的取值范围______________
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论：B＝∅，△＜0，解得即可．若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得即可．若B＝{1，2}，可得，此方程组无解．
【详解】1°B＝∅，△＝8a+24＜0，解得a＜﹣3．
2°若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得a＝﹣3，此时B＝{2}，符合题意．
3°若B＝{1，2}，∴，此方程组无解．
综上：a≤﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
故填（﹣∞，﹣3]
【点睛】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．
14. 设A，B是非空集合，定义．已知集合 ， ，则AB＝________.
【答案】{0}∪ [2，＋∞)
【解析】
【详解】由已知A＝{x|015. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，
又因为集合，集合，
所以当时，，即，此时满足；
当时，或，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知，且，则的最小值为_________________．
【答案】3
【解析】
【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解.
【详解】原式变形可得，由得，
则，
当且仅当时取到等号，所以，，
故的最小值为3.
故答案为：3
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17 已知集合，集合，集合.
（1）求的子集的个数；
（2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）先用列举法表示出集合，再求，然后根据的元素个数确定子集的个数；（2）命题“，都有”是真命题说明，讨论集合是否为空集即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
又
,元素个数为3，则子集个数为：个.
【小问2详解】
命题“，都有”是真命题,,
若
若
综上所述：
18. 已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）由集合得到，将代入集合，最后通过交集运算即可得到答案；
（2）分和两种情况进行分类讨论，即可求解
小问1详解】
由可得或x>2，
因为，所以，
所以
【小问2详解】
当时，则，解得，此时满足；
当时，要使，只需或，
解得或，
综上所述，实数的取值范围为或
19. 已知，.
（1）若，求；
（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于等式，综合可得出集合；
选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合.
【小问1详解】
解：当时，，
又因为，故.
【小问2详解】
解：若选①，当时，，则，满足，
当时，，若，则或，解得或.
综上所述，；
若选②，，则.
当时，，满足；
当时，，因为，则或，解得或.
综上所述，；
若选③，当时，，满足；
当时，则，因为，则或，解得或.
综上所述，.
20. 已知，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用交集的定义可求得集合；
（2）求出集合，由题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
（1）当时，，，
因此，；
【小问2详解】
（2）由（1）可得，
若是的充分不必要条件，则，
所以，，解得.
①当时，，则成立；
②当时，，则成立.
综上所述，实数的取值范围是.
21. 求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.
（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
22. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
【答案】（1）
（2）6万元
【解析】
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
．
因为，所以
【小问2详解】
因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．