高中数学人教A版((2019)必修第一册第五章三角函数测试卷（Word版附解析）

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第五章　三角函数全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A.4　　B.2　　C.14　　D.122.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则sin(-θ)+2cos(π-θ)3sin(-π-θ)+4cos(3π+θ)=(　　)A.15　　B.-15　　C.-1　　D.13.函数f(x)=xsinx2|x|-1的图象大致为(　　)　　　　　　　　4.已知α∈π2,π,且3cos 2α-sin α=2,则(　　)A.cos(π-α)=23　　　　B.tan(π-α)=24　　C.sinπ2-α=53　　　　D.cosπ2-α=545.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为(　　)A.2+24　　B.3　　C.34　　D.346.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈0,π2,且x10)在区间-π3,3π4上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　)A.0,34　　B.0,89　　C.23,89　　D.34,89二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知α∈R,sin α+cos α=22,那么tan α的值为(　　)A.2+3　　B.-2+3　　C.2-3　　D.-2-310.设函数f(x)=Acos2x+2π3,则下列结论正确的是(　　)A. f(x)的一个周期为-πB. f(x)在区间π2,π上单调递减C. fx+π2的一个零点为-π12D. f(x)的图象关于直线x=5π3对称11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则(　　)A.ω=2B.直线x=π6是f(x)图象的一条对称轴C.[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0在x∈0,π2上有两个不相等的解,则a∈-12,12D.已知函数g(x)=f(x)+12sin2x,当g(x)取最大值时,sin 2x=23913三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.若函数f(x)=tanωx+π3(ω≠0)的最小正周期是π2,则ω=　　　　. 13.方程lg(3sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　. 14.若关于x的方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈0,π2上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知函数f(x)=sin(π-x)sin3π2+xcos(2024π+x)tan(2024π-x).(1)化简f(x)的解析式;(2)若π4<β<π<α<3π2,且f(α+β)=-210, fπ2-2β=45,求α-β.16.(15分)已知函数f(x)=sin2x+π3+cos2x+π6-2sin xcos x.(1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程;(2)将函数y=f(x)的图象先向左平移π12个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间.17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)直接写出f(x)在区间[0,π]上的单调区间;(3)已知∀x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立,直接写出一个满足题意的a的值.18.(17分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=π2,OA=2,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=π4,设∠AOP=θ.(1)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ);(2)求△OPQ面积的最小值.19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)的单调性并证明;(3)若对任意的θ∈-π2,π2,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立,求实数k的取值范围.答案全解全析1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为2α,所以扇形的面积为12×2×2α=1,可得α=2.故选B.2.C　因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,所以sin(-θ)+2cos(π-θ)3sin(-π-θ)+4cos(3π+θ)=-sinθ-2cosθ3sinθ-4cosθ=-tanθ-23tanθ-4=-3-23×3-4=-1.故选C.3.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)=-xsin(-x)2|-x|-1=xsinx2|x|-1=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.故选A.4.B　因为3cos 2α-sin α=2,所以3(1-2sin2α)-sin α=2,即6sin2α+sin α-1=0,解得sin α=-12或sin α=13,又α∈π2,π,所以sin α=13,所以cos α=-1-sin2α=-223,tan α=sinαcosα=-24.则cos(π-α)=-cos α=223,tan(π-α)=-tan α=24,sinπ2-α=cos α=-223,cosπ2-α=sin α=13,故选B.5.C　易得g(x)=sin2x-π6=sin2x-π3,则y=f(x)g(x)=sin 2x·sin2x-π3=sin 2x·sin 2xcosπ3-cos 2x·sinπ3=sin 2x·12sin 2x-32cos 2x=12sin22x-32sin 2xcos 2x=12×1-cos4x2-32×12sin 4x=14-14cos4x+34sin4x=14-12sin4x+π6,所以当sin4x+π6=-1时,y=f(x)g(x)取得最大值,为14-12×(-1)=34.故选C.6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sinωx+π4,∴f(x)max=2, f(x)min=-2,∴若存在x1,x2∈0,π2,且x10时,π4<ωx+π4<πω2+π4,∴πω2+π4>5π2,解得ω>92.故选B.7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos B·cos C,∴tan B+tan C=3,∴tan Btan C≤tanB+tanC22=94,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立.易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=tanB+tanCtanBtanC-1·tan Btan C=3tanBtanCtanBtanC-1=3+3tanBtanC-1,∵tan Btan C≤94,∴tan Atan Btan C≥275.故选A.8.C　f(x)=4cosπ2-ωx2·cosωx2-π6-1=4sinωx232cosωx2+12sinωx2-1=23sinωx2cosωx2+2sin2ωx2-1=3sin ωx-cos ωx=2sinωx-π6.由x∈-π3,3π4,ω>0,得ωx-π6∈-π3ω-π6,3π4ω-π6.因为f(x)在区间-π3,3π4上单调递增,所以-π3ω-π6≥-π2且3π4ω-π6≤π2,所以0<ω≤89.当x∈[0,π],ω>0时,ωx-π6∈-π6,ωπ-π6.要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值,则π2≤ωπ-π6<5π2,解得23≤ω<83.综上,ω的取值范围为23,89.故选C.9.BD　由sinα+cosα=22,sin2α+cos2α=1,得sinα=2-64,cosα=2+64或sinα=2+64,cosα=2-64,所以tan α=-2+3或tan α=-2-3.故选BD.10.ACD　函数f(x)的最小正周期为2π2=π,所以-π也为函数f(x)的周期,故A正确;当x∈π2,π时,2x+2π3∈5π3,8π3,又y=cos t在5π3,2π上单调递增,在2π,8π3上单调递减,所以函数f(x)在区间π2,π上不单调,故B错误;fx+π2=Acos2x+π2+2π3=Acos2x+2π-π3=Acos2x-π3,因为f-π12+π2=Acos2×-π12-π3=0,所以fx+π2的一个零点为-π12,故C正确;由于f5π3=Acos2×5π3+2π3=Acos 4π=A,所以f(x)的图象关于直线x=5π3对称,故D正确.故选ACD.11.ABD　对于A,由题图知,函数f(x)的最小正周期T=2×11π12-5π12=π,又ω>0,所以ω=2,故A正确;对于B,由“五点作图法”得2×5π12+φ=π,解得φ=π6,所以f(x)=sin2x+π6,令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=12kπ+π6(k∈Z),所以直线x=π6是f(x)图象的一条对称轴,故B正确;对于C,因为[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0,所以f(x)=1或f(x)=a,令t=2x+π6,因为x∈0,π2,所以t∈π6,7π6,所以sin t=1或sin t=a共有两个不相等的解,结合y=sin t的图象(图略),可知直线y=1与函数y=sin t的图象有一个交点,当a∈-12,12时,直线y=a与函数y=sin t的图象有一个交点,共两个交点,故C错误;对于D,g(x)=sin2x+π6+12sin2x=32sin 2x+12cos 2x+1-cos2x4=32sin 2x+14cos 2x+14=13423913sin 2x+1313cos 2x+14,令cos θ=23913,sin θ=1313,所以g(x)=134sin(2x+θ)+14,所以当2x+θ=2kπ+π2(k∈Z)时,g(x)取到最大值,此时sin 2x=sin2kπ+π2-θ=cos θ=23913,故D正确.故选ABD.12.答案　2或-2解析　由题知,T=π|ω|=π2,即|ω|=2,解得ω=±2.13.答案　x|x=2kπ+π6,k∈Z 解析　由lg(3sin x)=lg(cos x),得3sin x=cos x,即tan x=33,所以x=kπ+π6,k∈Z.①易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ0,所以π2<2β<π,所以π4<β<π2,又π<α<3π2,所以π2<α-β<5π4,5π4<α+β<2π.又cos(α+β)=-210,所以5π4<α+β<3π2.(9分)由上述分析得cos 2β=-35,sin(α+β)=-7210,(10分)所以sin(α-β)=sin[(α+β)-2β]=sin(α+β)cos 2β-cos(α+β)sin 2β=-7210×-35--210×45=22,所以α-β=3π4.(13分)16.解析　(1)f(x)=12sin 2x+32cos 2x+32cos 2x-12sin 2x-sin 2x=3cos 2x-sin 2x=2cos2xcosπ6-sin2xsinπ6=2cos2x+π6,(3分)所以函数f(x)的最小正周期为π.(5分)令2x+π6=kπ,k∈Z,得x=-π12+kπ2,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ2,k∈Z.(7分)(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=2cos2x+π12+π6=2cos2x+π3,(9分)所以g(x)=2cos2×12x+π3=2cosx+π3.(11分)令2kπ≤x+π3≤π+2kπ,k∈Z,得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z,(13分)所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为0,2π3,5π3,2π.(15分)17.解析　(1)由题图可知,T2=5π12--π12=π2,所以T=π,所以ω=2.(3分)因为f(x)的图象过点-π12,2,所以2sin2×-π12+φ=2,即sin-π6+φ=1,所以-π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+2π3,k∈Z.(5分)又因为0<φ<π,所以φ=2π3.所以f(x)=2sin2x+2π3.(7分)(2)在区间[0,π]上,函数f(x)的单调递增区间为5π12,11π12,(9分)单调递减区间为0,5π12,11π12,π.(11分)(3)因为∀x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立,所以函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(14分)由题图可知,a=5π12符合题意(答案不唯一).(15分)18.解析　(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=2,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=π4,OM⊥AB.(3分)因为点P在线段AM上运动,所以θ∈0,π4.(4分)因为∠AOP=θ,所以∠POM=π4-θ,(5分)所以PM=OM·tan∠POM=tanπ4-θ,即f(θ)=tanπ4-θ,θ∈0,π4.(8分)(2)因为∠POQ=π4,所以∠QOM=θ,所以QM=OM·tan∠QOM=tan θ,(10分)所以PQ=PM+QM=tanπ4-θ+tan θ,(12分)所以S△OPQ=12PQ·OM=12tanπ4-θ+tanθ=121-tanθ1+tanθ+tanθ=1221+tanθ+1+tanθ-2≥12(22-2)=2-1,当且仅当tan θ=2-1时,等号成立,(15分)所以△OPQ面积的最小值为2-1.(17分)19.解析　(1)因为定义在R上的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数,所以f(0)=-20+b2+a=0,所以b=1,所以f(x)=-2x+12x+1+a.(2分)又f(-1)=-f(1),所以-2-1+120+a=--2+122+a,解得a=2,所以f(x)=-2x+12x+1+2.(4分)经检验,a=2,b=1符合题意.(5分)(2)f(x)在R上单调递减.证明如下:由(1)知f(x)=-2x+12x+1+2=1-2x2(2x+1)=-(2x+1)+22(2x+1)=-12+12x+1.(6分)任取x1,x2∈R,且x12x1,又2x1+1>0,2x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)=2x2-2x1(2x1+1)(2x2+1)>0,即f(x1)>f(x2),(9分)所以f(x)在R上单调递减.(10分)(3)因为函数f(x)在R上单调递减,且f(x)为奇函数,所以不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0,即f(k)≤-f(cos2θ-2sin θ)=f(-cos2θ+2sin θ),即k≥-cos2θ+2sin θ=sin2θ+2sin θ-1=(sin θ+1)2-2.(12分)因为对任意的θ∈-π2,π2,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立,所以对任意的θ∈-π2,π2,k≥(sin θ+1)2-2恒成立.因为θ∈-π2,π2,所以sin θ∈(-1,1),所以(sin θ+1)2-2∈(-2,2),(15分)所以k≥2,即实数k的取值范围是[2,+∞).(17分)